miércoles, 8 de septiembre de 2010

Problema del Día 8 de septiembre

Sea $f(n)$ el número de parejas $(x,y)$ de enteros positivos tales que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$. Demuestra que $f(n) = \tau(n^2)$ donde $\tau(n)$ es igual al número de divisores de $n$.

9 comentarios:

Manuel Dosal dijo...

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$, si y solo si $(x+y)n=xy$, $xy-(x+y)n=0$, $xy-(x+y)n+n^{2}=n^{2}$. Luego factorizando $(x-n)(y-n)=n^{2}$. Luego si $x-n$ es negativo entonces tambien $y-n$ lo sera, pero ambos son menores que $n$ ya que $x$ y $y$ son enteros positivos. Ahora no puede ser uno $0$, asi que ambos son positivos. Y si ambos son positivos entonces $x-n$ es un divisor positivo de $n^{2}$, y puede ser cualquiera desde 1 hasta $n^{2}$ y $y-n$ tendria que ser su complemento para que el producto sea $n^{2}$. Entonces las parejas que hay son los divisores de $n^{2}$. Entonces $f(n)=\tau(n^{2})$. FIN.

Quique12 dijo...

Estuvo fácil el problema. La solución que hice primero estaba complicada, se me ocurrió esta después de ponerlo.

IrvinG dijo...

Yo ya había hecho este problema hace un tiempo, pero luego pongo la solución.

Quique12 dijo...

¿Dónde viste el problema antes Irving? Me gustaría saber porque estuve un rato tratando de hacer un problema muy similar.

IrvinG dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
IrvinG dijo...

Me lo platicó Fer hace como, no sé´a lo mejor unos 3 meses

Quique12 dijo...

Yo demostré que el número de parejas $(x,y)$ tales que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ es igual a \[\sum_{d\, |\, n} 2^{\omega(d)}\]
donde $\omega(d)$ es el número de primos distintos que dividen a $n$. Luego me di cuenta que era $\tau(n^2)$. Curiosamente la única manera bonita que encontre de demostrar que $\tau(n^2) = sum_{d|n} 2^{\omega(d)}$ fue contando las soluciones a $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$. Hay una manera fácil, que es usando que $\tau(n^2)$ y $2^{\omega(d)}$ son ffunciones multiplicativas y por lo tanto sólo tienes que checar que sean iguales en las potencias de primos, algo que es muy fácil de verificar.

Flavio dijo...

Ya lo habiamos hecho y mi solucon era: multiplicas por xy, le sumas n^2 y factorizas el lado izquierdo y queda
(x-n)*(y-n)=n^2, de lo que queda claro concluir

DANIELIMO dijo...

Me suena q ya lo habia hecho, mi soluión es la misma que flavio, multiplicar por xyn y factorizar

Publicar un comentario