lunes, 6 de septiembre de 2010

Problema del dia 7 de Septiembre

Encuentra todas las funciones $f$, de los números reales en los números reales que satisfacen
la ecuación $f(x)f(y) = f(x+y) + xy$ para cualesquiera números reales $x$ y $y$.

7 comentarios:

Manuel Dosal dijo...
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Manuel Dosal dijo...

Veamos primero $x=y=0$, $f(0)^{2} = f(0) + 0$, $f(0)^{2} = f(0)$, entonces tenemos 2 casos, $f(0) = 0$, o si no dividiendo de ambos lados por $f(0)$ tenemos $f(0) = 1$.
Si $f(0) = 0$ sustituyendo y=0, tenemos $f(x)f(0) = f(x) + 0$, $0 = f(x)$ para todo $x$. Pero si tenemos la funcion constante $0$, al tomar $x$, $y$ distintos de $0$, tendremos $f(x)f(y) = f(x+y) + xy$ y como la funcion es $f(x)=0$, entonces eliminando las $f's$ queda xy=0, pero nos tomamos $x$ y $y$ distintos de cero, contradiccion.
Entonces queda $f(0) = 1$, en donde haciendo una sustitucion $x=1$, $y=-1$ tendriamos $f(1)f(-1) = f(0) - 1$, $f(1)f(-1) = 0$, y entonces uno de $f(1)$ o $f(-1)$ es $0$.
Si $f(1) = 0$, entonces tomando $y=1$, tenemos $f(x)f(1) = f(x+1) + x$. $0 = f(x+1) + x$, $f(x+1) = -x$, y haciendo $z=x+1$ tendremos $f(z) = -z + 1$ para todo z real. Verificando esta solucion, tendremos $f(x)f(y) = f(x+y) + xy$, $(-x+1)(-y+1) = (-x-y+1) + xy$, $xy-x-y+1 = -x-y+1+xy$ y por lo tanto si funciona esta solucion.
Si $f(-1) = 0$, entonces tomando $y=-1$, tendremos $f(x)f(-1) = f(x-1) - x$, $f(x-1) - x = 0$, $f(x-1) = x$, tomando $z=x-1$ tenemos $f(z)= z+1$ para todo z real. Verificando la solucion en la ecuacion original $f(x)f(y) = f(x+y) + xy$, $(x+1)(y+1)=(x+y+1) + xy$, $xy+x+y+1=x+y+1+xy$ que si cumple. Por lo tanto las soluciones son:
$f(x) = -x + 1$
$f(x) = x + 1$ para todo $x$ real. FIN.

rvaldez dijo...

Bien!!!

IrvinG dijo...
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IrvinG dijo...

Ponemos $x=y=0$ y entonces $f^2(0)=f(0)$ y entonces $f(0)=0$ o $f(0)=1$. Si $f(0)=0$ ponemos entonces $y=0$ y entonces sale $f(x)=0$ para todo $x$, pero esto no es posible si tomamos $x,y\neq 0$ nos queda la ecuación $0=xy$. Entonces $f(0)=1$. Ahora ponemos $1$ y $-1$ en la ec funcional
\[f(1)f(-1)=0\] y entonces $f(1)=0$ o $f(-1)=0$. Si $f(1)=0$ ponemos $x-1$ y 1 en la ec funcional y obtenemos $f(x)=1-x$.

Por otra parte si $f(-1)=0$ ponemos $x+1$ y $-1$ en la ecuación y queda $f(x)=x+1$. Es fácil verificar que tanto $f(x)=x+1$ como $f(x)=1-x$ satisfacen la ecuación.

Flavio dijo...

si x=0 entonces
f(0)f(y)=f(y) luego hay dos opciones, si f(y)=0 para toda y entonces
f identica a cero pero x=y=1 nos da contradiccion.
entonces hay al menos un valor que no da cero y tomamos ese valor de y
entonces como f(y)no es cero podemos dividir y queda
f(0)=1
Luego si hacemos y=-x
f(x)*f(-x)=f(0) - x^2 = 1 - x^2
si ponemos x=1, entonces
f(1)*f(-1)=0, entonces uno de f(1) y f(-1) es cero,
tomemos primero el caso f(1)=0 y el otro sera analogo.
si x=1 entonces f(1)f(y)=f(y+1)+y entonces si y=z-1
0=f(z)+z-1 y entonces f(z)=1-z para toda z, en el otro caso nos queda
f(z)=1+z para toda z, ahora vemos que esas dos funciones cumplen,
es claro que (1-x)(1-y)=1-x-y + xy
t qye (1+x)(1+y)=1+x+y +xy entonces esas f son las unicas

DANIELIMO dijo...

sustituimos $x=y=0$ y nos da que $f(0)=1$, (o que $f(0)=0$, pero si esto pasa al sustituir $x=0$, para todo valor de y $f(y)=0$, pero esto no cumple la ecuación). Sustituimos $x=2k, y=-k$ y nos da $f(2k)f(-k)=f(k)-2k^2$, luego sustituimos $x=k,y=-k$ y nos da $f(k)f(-k)=f(0)-k^2=1-k^2$, luego sustituimos$x=Y=k$ y nos da $(f(k))^2=f(2k)+k^2$, esta ultima ecuación la multiplicamos por f(-k)y sustituimos en ella las dos primeras y des pues de hacer unas cuentas llegamos a que $(f(k))^2=(k+1)^2$ de donde llegamos a que $f(k)=k+1
o f(k)=-(k+1)$

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