lunes, 21 de febrero de 2011

Competencia de Invierno (Examen # 6, 30 minutos)

1) Tres de los vértices de un cubo son los puntos $P=(7,12,10)$, $Q=(8,8,1)$ y $R=(11,3,9)$. ¿Cuál es el área de la superficie del cubo?

2) Encuentra el mínimo entero positivo $k$ tal que 200 divide a la suma de los primeros k cuadrados perfectos

3) Sea $ABC$ un triángulo cuyo inradio mide 10. Se trazan líneas paralelas a los lados del triángulo que sean tangentes al incírculo de $ABC$. Cada una de estas rectas y los lados del triángulo no paralelos a ella determinan un triángulo. Si sabemos que uno de estos triángulos tiene inradio 3 y otro inradio 4, determina el inradio del tercer triángulo.

4) Considera la sucesión definida por $a_{k}= \frac{1}{k^2+k}$. Dado que a_{m} + a_{m+1} + … + a_{n-1} = 1/29 para enteros positivos $m,n$ con $m$ menor que $n$, encuentra $m+n$.

5) ¿Cuántos enteros positivos menores que 10000 tienen a lo más dos dígitos distintos?

6) Sea S={1,2,…,10}. Determina el número de conjuntos formados por dos subconjuntos ajenos (con intersección vacía) y no vacíos de $S$.

7) Encontrar la parte entera de (1\sqrt{2})+(1\sqrt{3})+...+(1\sqrt{10000}). donde sqrt{n} es la raíz cuadrada de n-

8) El polinomio $P(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx$ tiene 5 raíces reales distintas. De los coeficientes $a,b,c,d$, ¿cuál no puede ser raíz de $P(x)$?

9) ¿De cuántas formas se puede expresar al 2011 como suma de algunos enteros positivos donde el orden sí importa?

10) Sea $ABCD$ un trapezoide con lados paralelos $DA$ y $BC$. Sean $M,N$ puntos sobre los segmentos $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $MN$ es paralelo a $DA$ y $(DAMN)=(BCNM)$. Si $AD=1$ y $BC=7$, encuentra la longitud de $MN$.

36 comentarios:

IrvinG dijo...

Ahorita corrijo, intenten los que se ven!

jorge garza vargas dijo...

problema 9. 2^2010

Manuel Alejandro dijo...

5: 1359

Jorge 'Chuck' dijo...

2) 112

IrvinG dijo...

Les daré 5 min extra porque no se veían algunos problemas al principio!

Jorge 'Chuck' dijo...

1)588

Jorge 'Chuck' dijo...

No! olviden el del 1)

Jorge 'Chuck' dijo...

1)294

Georges dijo...

9.- 927

Adán dijo...

Problema 3. 3

Georges dijo...

perdon me referia al 5.-927

Diego627 dijo...

8.b

DANIELIMO dijo...

10) MN = 5

Manuel Alejandro dijo...

10: mide 5

Manuel Alejandro dijo...

roblema 5: 639

Diego627 dijo...

6. $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{10}\binom{10}{i} 2^{10-i} $

IrvinG dijo...

_____FIN_____

Diego627 dijo...

6.$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{10}\binom{10}{i} (2^{10-i}-1)$

IrvinG dijo...

Estuvo fácil, medio, difícil??

Jorge 'Chuck' dijo...

Se vale escribir el resultado como una sumatoria?

Enrique dijo...

aww me ganaron todos haha

Georges dijo...

Cuanto da en el 5???

IrvinG dijo...

No, creo que no...

IrvinG dijo...

El 5 es 197

Manuel Alejandro dijo...

Del 5 cual era la respuesta?

IrvinG dijo...

Alguien llegó tarde?

Manuel Alejandro dijo...

pero si vemos: (10 en 2)(2^4-2) cuenta todos los casos cuando no son iguales todos los dígitos (considerando 0022 como dos dígitos), y después a eso le sumas 9 casos (1111, 2222, ...)

DANIELIMO dijo...

yo lleguetarde

3 es r=28

IrvinG dijo...

Esperen, no, la del 5 es 927

DANIELIMO dijo...

no, obvio esta mal lo de r=28, jaja pero no se q hice mal

Adán dijo...

llegué tarde igual
quisiera publicar el 4
4: 840

Georges dijo...

VAMOS!!!!!

IrvinG dijo...

Bueno, esperamos ya poner los resultados de los exámenes 3,4 y 5 en la semana!

DANIELIMO dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
IwakuraIsa dijo...

Creo que 197 era respuesta pero del 7 jeje

Quique12 dijo...

$$\sum_{i=0}^{10} {10 \choose i}2^{10-i} = 3^{10}.$$
Por lo tanto,
$$\sum_{i=1}^{10} {10\choose i}2^{10-i} = 3^{10}-2^{10}.$$
Por lo tanto,
$$\sum_{i=1}^{10} {10\choose i}\left(2^{10-i}-1\right) = 3^{10}-2^{10}-\left(2^{10}-1\right) = 3^{10} - 2^{11} + 1.$$
Por lo tanto
$$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{10} {10\choose i}\left(2^{10-i}-1\right) = \frac{3^{10} + 1}{2} - 2^{10} = 28501.$$

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