viernes, 4 de febrero de 2011

Problema del Día - 4 de febrero 2011 (teoría de números)

Sea $S$ un conjunto de números racionales tal que se cumplen las siguientes 3 cosas:

1) $0 \in S$

2) Si $x\in S$, entonces $x+1\in S$ y $x-1\in S$.

3) Si $x\in S$ y $x\not\in\{0,1\}$ entonces $\frac{1}{x(x-1)}\in S$.

Estará $S$ forzado a contener a todos los racionales.

16 comentarios:

Enrique dijo...

S no contiene forzosamente a todos los racionales. A manera de contraejemplo, veremos que 2/5 no necesariamente pertenece a S.
Primero, notemos que las condiciones 1) y 2) hacen que todos los enteros estén en S. Es claro que para encontrar racionales no enteros que a fuerzas pertenezcan a S debemos usar a condición 3). Ahora, supongamos que 2/5 forzosamente pertenece a S. Entonces, 2/5=1/(x(x-1))+k para algún x racional y algún k entero. Quitando denominadores y pasando todo del lado izquierdo nos queda que x^2-x-5/(2-5k)=0, luego x=(1±√(1+4(5/(2-5k))))/2=(1±√((22-5k)/(2-5k)))/2 . Como x es racional, √((22-5k)/(2-5k)) también lo es, de donde 22-5k=ya^2 y 2-5k=yb^2 para algunos a,b,y enteros. Restando ambas igualdades obtenemos que 20=y(a^2-b^2)=y(a+b)(a-b). Es claro que podemos trabajar asumiendo que y,a+b y a-b son positivos. Tenemos que los divisores positivos de 20 pueden son 1,2,4,5,10 y 20. Sustituyendo y por cada uno de estos valores y probando divisibilidades obtenemos que 20=y(a^2-b^2 ) en los siguientes casos:
-(a,b,y)=(6,4,1). Entonces, 22-5k=1•6^2=36, de donde -5k=14, lo cual no es posible dado que k es entero.
-(a,b,y)=(3,2,4). Entonces, 22-5k=4•3^2=36, de donde -5k=14, lo cual no es posible dado que k es entero.
-(a,b,y)=(2,0,5). Entonces, 2-5k=0, lo cual no es posible.
-(a,b,y)=(1,0,20). Entonces, 2-5k=0, lo cual no es posible.
Luego, √((22-5k)/(2-5k)) es irracional, por lo cual x es irracional, lo cual es una contradicción. Entonces, 2/5 no pertenece forzosamente a S.

Quique12 dijo...

Muy bien Enrique.

Jorge 'Chuck' dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Jorge 'Chuck' dijo...

Veamos que de las primeras dos condiciones podemos formar a todos los enteros, y usando repetidamente la segunda condición podemos conseguir de un número $a/b$ a todos los números de la forma $(a+kb)/b$ con $k$ entero.
Por lo que si se pueden formar todos los racionales, basta con ver que no existen todas las $a$'s para cada $b$ tales que $0\leq a<b$ con $a$ y $b$ enteros, ya que si existiesen, entonces, todos los racionales están contenidos en $S$. Como estos números los podemos construir solamente con la condición tres, entonces veamos qué pasará con algún racional si estuviese incluido en $S$.
Veamos que por ejemplo $3k+1/3$ no se puede formar. Si fuese parte de $S$, entonces significa que $3k+1/3=1/(x(x-1))$ para algún $x$ racional. $x$ es racional y cumple que $x^{2}-x=3/(3k+1) \Rightarrow x^{2}-x-3/(3k+1)=0$ y utilizando la fórmula general, obtenemos que $x=(1\pm \sqrt{1+12/(3k+1)})/2$ y como $\sqrt{(3k+13)/(3k+1)}$ es irracional puesto que el numerador y el denominador son coprimos y si no lo fuera entonces hay dos cuadrados perfectos a distancia 12 , por lo que $12=(y+2r)^{2}-y^{2}$ con $r$ entero y $y$ entero positivo, pero esto no tiene sentido ya que $12=4yr+4r^2\Rightarrow 3=r(y+r)$ y como 3 es primo, $r$ vale 3, -3, -1 ó 1 y en los únicos casos posibles $y=4$ ó $y=2$, entonces uno de ellos es 16 y el otro debe ser 4 pero entonces no son coprimos, por lo que sí es irracional y no se puede formar a $1/3$.

Jorge 'Chuck' dijo...

ahh!!! por qué no me lo pone bien? bueno, ayá arriba debería decir $(3k+1)/3$ y no $3k +1/3$

Flavio dijo...

la respuesta es no, primero es facil ver que las implicaciones que tenemos solo nos resultan numeros racionales. Si nos fijamos, de un numero p/q , (p,q)=1 y enteros, solo podemos llegar a otro racional p1/q con la primera operacion con p1 congruente a p mod q. con la segunda podemos llegar a 1/(p/q)((p-q)/q)=q^2/(p-q)(p) y como (q,p)=1, entonces esa fraccion esta ya reducida. Entonces solo se pueden llegar a p1's congruentes con el que ya teniamos mod q o a un p1 nuevo que es un cuadrado perfecto, entonces si en algun momento aplicamos la otra, estan puros numeros de la forma p/q donde p congruente a x^2 mod q para alguna x, o sea que p residuo cuadratico mod q (o p congruente a -x^2, por que puede ser que el denominador sea negativo) luego supongamos que estan todos los racionales. en particular estan los que tienen denominador un primo de la forma 4k+1, por ejemplo 5. Luego, como -1 residuo cuadratico mod ese primo, entonces todos los p son residuos cuadraticos modulo ese primo que es denominador (llamemos q a ese primo). Luego como solo hay q-1 / 2 residuos cuadraticos, entonces hay valores de p que no se pueden alcanzar, como por ejemplo 2 y 3 cuando q=5, por que para obtener numeros con denominador mayor a 1, es necesario aplicar al 0 alguna operacion de las segundas, sino, solo se podrian aplicar la primera y solo estarian los enteros. Entonces no pueden estar todos los enteros, por ejemplo no estan 2/5 y 3/5

Flavio dijo...

bueno, no necesariamente, por que aplicando las operaciones a cualquier elemento que este en S, a poartir de la existencia del 0, va a ser de la forma que dije (con numerador residuo cuadratico o -residuo cuadratico o entero)

Quique12 dijo...

Jorge,
El 1/3 tiene que estar contenido, así que tu solucion esta mal. Nota que si $k=1$ entonces $\frac{3k+13}{3k+1} = 4$ que es un cuadrado perfecto.

Quique12 dijo...

Esta medio confusa tu redacción Flavio, pero esta correcta. Esta suave que expandes y encuentras todos los ejemplos de fracciones que no necesitan estar en $S$.

Manuel Alejandro dijo...

Notamos primeramente que por las condiciones 1 y 2, fácil se puede determinar que todos los naturales pertenecen a S.Ahora, supongamos que 1/7 se encuentra en S obligatoriamente. Esto quiere decir que algún número de la forma 3/7+k con k entero, se puede formar con la “operación” 3. Si esto sucediera, tenemos que: $\frac{1+7k}{7}=\frac{1}{x(x-1)}\Rightarrow x^{2}-x-\frac{7}{1+7k}=0$, y por fórmula general llegamos a que: $x=\frac{1\pm\sqrt{1+\frac{28}{1+7k}}}{2}$, y como x es racional, se debe que $\sqrt{\frac{29+7k}{1+7k}}$ es racional. Pero como el numerador y denominador son primos relativos, entonces se tendría que ambos son cuadrados y su diferencia es 28, entonces $28=a^{2}-(a+2t)^{2}$ para enteros a y t, donde a es positivo. Entonces $28=4t^{2}-4at\Rightarrow7=t^{2}-at=t(t-a)$, entonces $t=\pm1,\pm7$, entonces a=6,8. Por lo que serían el numerador y denominador 36 y 64, pero no son primos relativos, contradicción, entonces no se pueden formar.

Manuel Alejandro dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Manuel Alejandro dijo...

Me equivoqué, aquí ya está corregido.

Notamos primeramente que por las condiciones 1 y 2, fácil se puede determinar que todos los naturales pertenecen a S.Ahora, supongamos que 6/7 se encuentra en S obligatoriamente. Esto quiere decir que algún número de la forma 6/7+k con k entero, se puede formar con la “operación” 3. Si esto sucediera, tenemos que: \frac{6+7k}{7}=\frac{1}{x(x-1)}\Rightarrow x^{2}-x-\frac{7}{6+7k}=0, y por fórmula general llegamos a que: x=\frac{1\pm\sqrt{1+\frac{28}{6+7k}}}{2}, y como x es racional, se debe que \sqrt{\frac{34+7k}{6+7k}} es racional. Pero como el numerador y denominador son primos relativos, entonces se tendría que ambos son cuadrados y su diferencia es 28, entonces 28=a^{2}-(a+2t)^{2} para enteros a y t, donde a es positivo. Entonces 28=4t^{2}-4at\Rightarrow7=t^{2}-at=t(t-a), entonces t=\pm1,\pm7, entonces a=6,8. Por lo que serían el numerador y denominador 36 y 64, pero no son primos relativos, contradicción, entonces no se pueden formar.

Quique12 dijo...

$7k+34$ y $7k+6$ no tienen que ser primos relativos.

Manuel Alejandro dijo...

ah, dije eso ¿? creo que estaba demasiado apresurado en dar la solución. Mmmm... no se por qué terminé asumiendo eso. Bueno, el final lo puedo determinar por casos, 28=s(a+b)(a-b) donde s=1,2,4,7,14,28

Si s=1, es el caso que ya había visto (64,36), pero 34+7k=64,36 no tiene soluciones enteras.
Si s=2, quiere decir que hay dos cuadrados a diferencia congruente mod.2, lo cual no existe.
Si s=4, es el caso 16,9, pero 34+7k=16,9 no tiene soluciones enteras.
Si s=7, entonces es el caso 4,0, pero tampoco hay soluciones enteras.
Si s=14, entonces es similar a cuando s=2.
Si s=28, es el caso 34k=1,0, que tampoco tiene soluciones enteras.

Ahora si según yo está bien, es que intenté evitar escribir todo eso diciendo lo otro, pero me equivoqué

Quique12 dijo...

La solución sigue estando mal. La razón, es que no puedes asumir que $s > 0$. Nota que si $s = -1$, tienes una solución con $k = 10$. $$\frac{7k+34}{7k + 6} = \frac{-36}{-64} = \frac{36}{64} = \frac{9}{16}.$$

Y $\frac{9}{16}$ es el cuadrado de un racional.

La solucion de Enrique tiene el mismo error, del cual no me habia percatado antes, porque cuando cheque $s < 0$ en su solucion, los casos si servian, pero pues fue coincidencia.

Quique12 dijo...

Es $k = -10$ no $k = 10$.

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