jueves, 2 de junio de 2011

Problema del dia: 2 de Junio (Centros)

Encuentra un conjunto infinito de enteros positivos, tal que la suma de cualquier numero finito de elementos distintos del conjunto no es un cuadrado.

4 comentarios:

Juan dijo...

Las potencias impares de $2$.
Argumentaremos por contradiccion.
Supon que podemos encontrar $i_1 < i_2 < ... < i_k$ con los $i$'s impares, tal que:
$S= \displaystyle\sum_{a=1}^{k} 2^{i_a} = x^2$, para algun $x$ natural. Entonces:
$2^{i_1} \mid S \Rightarrow 2^{i_1 + 1} \mid S$
$\Rightarrow 2^{i_1 + 1} \mid 2^{i_1 + 1}(y) + 2^{i_1}$
$\Rightarrow$ contradiccion (para algun entero no negativo $y$).
Por lo tanto, nuestra hipotesis era incorrecta y ninguna suma de potencias impares distintas de $2$ es un cuadrado. $\blacksquare$.

Juan dijo...

Las potencias impares de cualquier primo sirven.

Adán dijo...

Tomas todos los $10^{2k+1}$ para $k\in \mathbb{N}$. La suma de cualesquiera elementos termina en un número impar de $0$'s, por lo que $5$ divide a la suma, pero no $25$, y no es cuadrado ninguna suma.

Enrique dijo...

Ya había hecho este problema.
Te puedes tomar el conjunto de todos los números de la forma $x^{2k+1}$, con $x$ no cuadrado, con $x$ igual para todos los elementos del conjunto. Entonces, te agarras cualesquiera elementos $x^{a_{1}}$,$x^{a_{2}}$,...,$x^{a_{n}}$ con $a_{1}<a_{2}<...<a_{n}$, luego los sumas y te queda $x^{a_{1}}(x^{a_{n}-a_{1}}+x^{a_{n-1}-a_{1}}+...+1)$, y como $a_{1}$ es impar, $x^{a_{1}}$ no es cuadrado y por lo tanto $x$ debe dividir a $x^{a_{n}-a_{1}}+x^{a_{n-1}-a_{1}}+...+1$ para que la suma sea un cuadrado, pero esto no es cierto porque $x$ no es $1$.

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