Funcional

Tenemos un entero $n \ge 2$ fijo, y una función $f$ $:$ $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Se cumple que si $x$ y $y$ son números reales, entonces

 $f(x-f(y))=f(x+y^n)+f(f(y)+y^n)$. 

Encuentra todas las posibles funciones $f$ que cumplen ésto.

Números

Ana y Bruno juegan a un juego. Ana escoge un número natural no primo, $n$, luego Bruno escoge un natural $m$. Bruno gana si $m|n$, $m \le \sqrt{n}$ y $\tau(n) \le \tau(m)^3$. De otra manera, gana Ana. ($\tau$ es la función del número de divisores). ¿Quién puede asegurar la victoria?

Juego

Aberardo y Baltazár juegan a un juego. Aberardo tiene un crayón color rojo y Baltazár tiene uno color azul. También se dispone de un crayón color púrpura, y de un lápiz. Con el lápiz dibjan un círculo. Primero, Aberardo escoge un número natural $n$, mayor que 2.

Luego, Aberardo pinta un punto de la circunferencia con su crayón, y luego Baltazár pinta un punto (distinto al de Aberardo) con su crayón. Se continúa haciendo ésto, alternando entre Aberardo y Baltazár, hasta que cada uno ha pintado $n$ puntos con su crayón. (Nota: Dos puntos no pueden ser iguales. Es decir, si es mi turno, debo pintar un punto en la circunferencia que no ha sido pintado antes ni de rojo ni de azul). Al conjunto de los $2n$ puntos le llamo $S$.

Ahora bien, a un punto dentro del círculo, $P$, le asigno el conjunto de puntos, $C_P$, tal que:
(a) $C_P$ es un subconjunto de S.
(b) Si $X \in C_P$ y $Y \in S$ pero Y no está en $C_P$, entonces $PX \textless PY$.
(c) SI $X,Y \in C_P$, entonces $PX=PY$.
Luego, Aberardo colorea de rojo todos los puntos $P$ dentro del círculo tal que $C_P$ contiene solamente a puntos rojos, y Baltazár colorea de azul todos los puntos $Q$ dentro del círculo tal que $C_Q$ contiene solamente a puntos azules. Al final, se colorean de púrpura los puntos $P$ tal que $C_P$ contiene puntos rojos y azules.

Aberardo gana si el área roja es mayor o igual a la azul, y Baltazár gana si el área azul es mayor (estrictamente) a la roja.

¿Existe una estrategia ganadora? En caso de que sí, ¿para quién?

Problema

Definimos el conjunto $\Gamma$ como el conjunto de naturales $n$ tal que se pueden acomodar los elementos de $[n]$ (es {1,2,..,n}) alrededor de un círculo tal que la diferencia de dos consecutivos es 3, 4, 5, -3, -4 ó -5, siempre. Determina si $\Gamma$ cumple las siguientes propiedades:
(A) Sólo una cantidad finita de sus elementos no pertenecen a {$\phi (n)$ | $n$ natural}
(B) Todos los primos mayores a 30 pertenecen a él.
(C) Todos los números perfectos mayores a 6 pertenecen a él.

Otro de Geo

ABC con AB=AC. D punto medio AB. La mediatriz de AB y la de CD se intersectan en E. F es la intersección de AC y la tangente por D al circuncírculo de BED.Demuestra que AF/FC=2/3.

Problema De Combinatoria

Tenemos un tablero estilo triángulo equilatero partido en $n²$ pequeños triángulos equiláteros. Tenemos un $k$ tal que hay $k$ alfiles en el tablero. Dos alfiles se atacan si están en la misma diagonal (hay 3 tipos de diagonales, horizontales, de izquiera abajo a derecha arriba y de izquierda arriba a derecha abajo). No hay dos alfiles que se ataquen. Calcula la máxima $k$ posible tal que ésto puede pasar, en función de $n$.

Problema de Geometria

Un triangulo ABC tiene un excirculo w con centro J. w toca a los lados AB, BC y CA en F, E y D, respectivamente. Resulta que DE es perpendicular a AB, y que DE y AB se intersectan en G. Ahora, X es el pie de altura desde F hasta GJ. Entonces, calcula le medida de los ángulos BXD y AXE.

M-4

Dado un conjunto $S$ de puntos en el plano, diremos que una circunferencia es una 4-circunferencia si pasa por al menos cuatro puntos de $S$. ¿Cuál es la máxima cantidad de 4-circunferencias que puede determinar un conjunto $S$ de siete puntos?

N-4

Sea $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ tal que $P(0)=P(1)=1$. Para un entero dado $a$ definimos la sucesión $(x_n)$ por $x_1=a$ y $x_{n+1}=P(x_n)$. Demuestra que para cada entero positivo $n$ se cumple que $(x_n,n!)=1$.

G-4

Sean $M$ y $N$ puntos arbitrarios en los lados $AC$ y $BC$ del triángulo $ABC$, respectivamente, y $P$ un punto arbitrario en el segmento $MN$. Demuestra que al menos uno de los triángulos $AMP$ y $BNP$ tiene área menor o igual que $\frac{1}{8}$ del área del triángulo $ABC$.

C-4

Sean $n$ y $q$ enteros positivos. Un $(n,q)$ collar es un conjunto de $n$ puntos equiespaciados en una circunferencia, donde cada punto se ha coloreado con un color elegido entre $q$ posibles. Un $(n,q)$ collar es primo si no es posible dividirlo en arcos iguales entre sí (de longitud y coloración). Demuestra que la cantidad de $(n,q^n)$ collares primos es igual a $n$ veces el número de $(n^2,q)$ collares primos.

NOTA: Dos $(n,q)$ collares se consideran iguales si se puede obtener uno a partir del otro mediante una rotación.

A-4

Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$. Demuestra que 

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3.$

M-3

Sea $S_n$ la suma de los dígitos  de la expansión decimal de $2004^n$. Determina si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:

"Para cada $C>0$ existe $n_0$ tal que $S_n>C$ para todo $n\geq n_0.$

N3

Dados $p,q>1$ números enteros, se escribe un número en cada una de las casillas de un tablero rectangular de $p\times q$. Sea $a_{ij}$ el número en la fila $i$ y columna $j$. Se completa un nuevo tablero de la siguiente manera: Se escriben en sus casillas los mismos números, siguiendo el orden
$a_{11},a_{12},\dots , a_{1q},a_{21},a_{22},\dots , a_{2q},\dots ,a_{p1},a_{p2},...,a_{pq},$
pero por columnas, de arriba hacia abajo y comenzando por la primera de izquierda a derecha. Supongamos que inicialmente están los números 1,2,$\dots, pq$ escritos en ese orden, por filas, de izquierda a derecha, comenzando por la fila superior. Demuestra que después de aplicar una cantidad finita de estas operaciones, se regresa a un tablero como el original y determina la menor cantidad de operaciones necesarias para lograr esto.

G3

Un triángulo y un cuadrado están circunscritos a la misma circunferencia. Demuestra que al menos la mitad del perímetro del cuadrado está dentro del triángulo.

C3

Dado un entero $n\geq 2$, hallar todos los enteros $k\geq 2$ que tienen la siguiente propiedad: Es posible elegir $k$ enteros $a_1,a_2,\dots ,a_k$, todos de valor absoluto menor o igual que $n$ y tales que la suma de los $k$ números sea cero, pero si se suman algunos de ellos, no todos, la suma siempre es distinta de cero.

Álgebra 3

Ayer se me pasó poner el post para que comenten las soluciones. Si yo no lo pongo y alguien ya quiere publicar acerca de un problema, pongan ustedes mismos el post.

A3) Sea $P(x) \in \mathbb{Z} [x]$, de grado $n>0$ y con $n$ raíces reales en el intervalo $(0,1)$. Demuestra que le valor absoluto del coeficiente principal de $P(x)$ es mayor o igual que $2^n$.

Problema del día viernes 15 de junio del 2012 (Juan)

(a) Tengo unos discos cerrados en el plano. Todo punto del plano está contenido en a lo más 2003 discos. Demuestra que uno de esos discos tiene una intersección no vacía con a lo más 14020 discos.
(b) Tenemos un triángulo acutángulo ABC con F un punto en su interior tal que los ángulos AFB, BFC y CFA miden lo mismo. Tenemos que CF intersecta a AB en D y BF a AC en E. Demuestra que AB+AC $\ge$ 4DE.

Problema del dia 12 de junio (Julio)

Prueba que existe una función biyectiva tal que para todo :

Problema del dia 11 de junio (Jorge)

En los problemas de IMO es común que se utilicen ideas de cálculo (aunque no se usen las herramientas). A mí me ha servido para la olimpiada estudiar cálculo de licenciatura, sobre todo la parte de sucesiones, así que se los recomiendo a los que todavía no lo hacen.

1.- Considera dos sucesiones no crecientes $(a_k)$ y $(b_k)$, con $k\geq 1$ y $a_k$ y $b_k$ reales positivos para todo $k$. Ahora definimos las secuencias:
$c_k=\min (a_k,b_k)$
$A_k= a_1+a_2+...+a_k$
$B_k= b_1+b_2+...+b_k$
$C_k= c_1+c_2+...+c_k$
Para todo $k$.
a)¿Es posible que $A_k$ y $B_k$ no estén acotadas mientras que $C_k$ sí lo esté?
b) ¿La respuesta en a) cambia si definimos a $b_k$ como $b_k=\frac{1}{k}$ para todo $k$?

2.-La secuencia $c_0, c_1, c_2...$ se define como sigue, $c_0=1$, $c_1=1$ y $c_{n+2}=c_n+c_{n+1}$ para $n\geq 2$. Considera el conjunto $S$ de parejas oredenadas $(x,y)$ tal que existe un conjunto finito $J$ de enteros positivos tal que $x=\sum_{j\in J}{c_j}$,  $y=\sum_{j\in J}{c_{j-1}}$. Demuestra que existen reales $m,\alpha ,\beta , M$ con la siguiente propiedad: $(x,y)\in S$ si y solo si se cumple la desigualdad $m \leq \alpha x+\beta y \leq M$.

Entrenamiento Previo a la IMO

Hola a Todos

El entrenamiento previo a la IMO sera del 18 de junio del 2012 (el entrenamiento
empieza la tarde de ese dia) al 1 de julio del 2012 (ese dia ya no hay entrenamiento).

Por favor me confirman a mi y a Malu su fecha de llegada a Morelia.

El hotel se  llama Caza del Lago. Está muy cerca de la UNAM, donde serán los
entrenamientos. En otras ocasiones ya se han quedado ahí. Su página es:
http://www.lacazadellago.com/

Se les aconseja que llegar por autobús por dos razones: el vuelo DF-Morelia es exageradamente caro y
el aeropuerto está muy lejos de la ciudad (45 minutos y el taxi cobra
como 300 pesos).

Les mando también los teléfonos de Malú en Morelia:
casa: (443) 3 15 73 75
celular: 443 318 38 79

Problema del día Viernes 8 de junio del 2012 (Juan)

Computar $v_2\left( 3^{\frac{5^{2^n}-1}{2^{n+2}}} - (-5)^{\frac{3^{2^n}-1}{2^{n+2}}} \right)$. Por favor ignoren la $A$.

Problema del día (Adán)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $\omega$ y $\Omega$ su circunferencia inscrita y circunscrita respectivamente, tales que $I$ es centro de $\omega$. Sea $X$ el punto de tangencia de $\omega$ con $BC$ y sea $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$. Sea $M$ el punto medio de $AD$. La recta $MX$ corta a $\omega$ de nuevo en $Y$, y la perpendicular a $MX$ por $I$ corta a $BC$ en $N$. Las rectas $NW$ y $NZ$ son tangentes a $\Omega$ en $W$ y $Z$ respectivamente. Muestra que los puntos $W, X, Y, Z$ están sobre una circunferencia.

Desigualdad del día (Jorge 'Chuck')

Sea $n\geq 2$ y sean $a_1, a_2,\dots, a_n$ reales. Demuestra que para cada subconjunto no vacío $S$ de los enteros del uno al $n$ se da que: \[\left(\sum_{i\in S}a_i\right)^2\leq \sum_{1\leq i\leq j\leq n}(a_i+\dots+a_j)^2\]

Problema del día 05 de junio (Julio)

Dos desigualdades bonitas:
1._ Encontrar el valor mínimo de $ F(x,y)=\sqrt{(x+1)^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}} $ , donde. 
2._ Sea $n \ge {2}$  y  $0 \le x_{i} \le 1$ para toda $i = 1,2,...n$. Encuentra el valor máximo de
$(x_1 + x_2 + ... + x_n) - (x_1x_2 + x_2x_3 + ... + x_nx_1)$  y determina cuándo se alcanza.

Problemas del dia lunes 4 de junio (Jorge)

En los problemas de IMO es común que sea útil reducir cierto proceso a un caso más pequeño haciendo una especie de recurción. Me parece que es muy importante tener presente esa idea y saberla manejar bien, para ahorrar tiempo en un problema del estilo. Así que aquí pongo tres de ellos.

1. Sea $n\geq 1$ un entero. Un camino es un camino de $(0,0)$ a $(n,n)$ en el plano $xy$ es una sucesión de movimientos unitarios consecutivos, ya sea hacia la derecha (movimiento denotado por $D$) o hacia arriba (movimiento denotado por $A$), todos los movimientos hechos dentro del medioplano $x\geq y$. Un escalón en el camino es el suceso de dos movimientos consecutivos $DA$. Demuestra que el número de caminos de $(0,0)$ a $(n,n)$ que contienen exactamente $s$ escalones es:

$\frac{1}{s}\binom{n-1}{s-1}\binom{n}{s-1}$ 

(IMO SL 1999)

2. Sea $n$ un natural y $A_n$ el conjunto de las permutaciones $(a_1,..., a_n)$ del conjunto $\{ 1, 2,..., n\}$ tal que $k|2(a_1+...+a_k)$ para todo $1\leq k\leq n$.

Encuentra el número de elementos en $A_n$.
(IMO SL 2008)

3. Sea $n\geq 2$ se nos da una balanza con $n$ pesas con pesos $2^0, 2^1,...,2^{n-1}$. se deben de poner las $n$ pesas sobre la balanza, una detrás de otra de modo que el plato derecho sea siempre más pesado que el plato izquierdo. En cada paso se escoge una de las pesas que no se hayan utilizado y se pone ya sea en el platillo derecho o en el izquierdo, hasta que todas las pesas se hayan puesto.

Determina el número de formas en que esto se puede hacer.
(IMO 2011)

Problema del día (Diego)

Sea $\tau(n)$ el numero de divisores positivos de un numero natural $n$. Encontrar todas las funciones de los naturales a los naturales $f$ tal que
$d(f(x))=x$
$f(xy)$ divida a $(x-1)y^{xy-1}f(x)$
Para todo $x,y$ enteros naturales.

Problema del día, Viernes 1 de junio del 2012 (Juan).

(a) Tengo una gráfica donde cada vértice tiene grado al menos 50 y a lo más 100. Tengo 1331 colores. Demuestra que puedo colorear cada vértice de modo que todo vértice V tenga 20 (o más) amigos todos coloreados de diferente color.
(b) El mismo problema, pero con 49 colores, no 1331.

Problema del día (Adán)

Determina todas las parejas $\left(m, n\right)$ tales que $m, n, \frac{n^{3}+1}{mn-1} \in \mathbb{Z}^{+}$.

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $\Omega$ y $\omega$ su circunferencia circunscrita e inscrita respectivamente. Sean $D, E, F$ los puntos de tangencia de $\omega$ con los lados $BC, CA, AB$ respectivamente y sean $X, Y, Z$ los puntos medios de los arcos menores $BC, CA, AB$ de $\Omega$. Muestra que $DX, EY, FZ$ son concurrentes.

Sucesiones Aritméticas y Geométricas

Prueba que para cada entero positivo $n\geq 3$ existen sucesiones $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ de enteros positivos de manera que la primera es sucesión aritmética y la segunda es geométrica tales que $b_1\textless a_1\textless b_2\textless\dots\textless b_n\textless a_n$ y da un ejemplo de ambas para $n=5$.

Problema del dia 29 de mayo

Dado un conjunto de círculos unitarios en el plano cuya área total es $S$. Prueba que entre dichos círculos existen cierto número de ellos que no se intersectan (en más de un punto) cuya área total es mayor o igual a $\left(\frac{2}{9} \right)S$

Problema del dia 28 de mayo (Jorge)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. $M$,$N$ son puntos en $AB$,$AC$ respectivamente, tal que $\angle HMB=\angle HNC= 60^{\circ}$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $HMN$. $D$ es un punto del mismo lado que $A$ respecto a $BC$ tal que el triángulo $BCD$ es equilátero. Demuestra que $H, O, D$ son colineales.

Problema del día Sábado 26 de Mayo (Diego)

Problema 1. 

Sean $b,n\geq 2$ numero naturales tal que para cada $k\geq 2$ natural exista un entero $a_k$ que cumpla que $b-a_k^n$ es multiplo de $k$. Demuestra que $b=A^n$ para algún $A$ natural. 

Problema 2. 

Sea $n$ un numero natural. Demuestra que 

\[ \binom{2^{n}-1}{0},\;\binom{2^{n}-1}{1},\;\binom{2^{n}-1}{2},\;\ldots,\;\binom{2^{n}-1}{2^{n-1}-1} \]

Son congruentes modulo $2^n$ a $1,3,\ldots, 2^n-1$ en algún orden.

Problema del día viernes 25 de mayo. (Juan)

Sea ABC un tríangulo cuyo menor lado es BC. U está en el arco menor BC del circuncírculo de ABC. Las mediatrices de AB y AC intersectan a AU en X y Y, respectivamente. BX y CY se intersectan en T. Muestra que AU mide lo mismo que la suma de las longitudes de los segmentos BT y CT.

Problema del día Jueves 24 de Mayo (Adán)

Determina todas las $n \in \mathbb{Z}^{+}$ tales que $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ es entero.

Area blanca y negra, problema del día 23 de Mayo

Hay un tablero de ajedrez infinito, para cada pareja de enteros $m,n$ consideramos un triángulo rectánculo con vértices compartidos con la cuadrícula y con sus catetos paralelos a los ejes del tablero. Sean $S_{b}$ y $S_{n}$ el área total de blanco y de negro dentro del triángulo respectivamente. Sea $f(m,n)=|S_{b}-S_{n}|$.
a) Encuentra todos los posibles valores de $f(m,n)$ para $2|m-n$.
b) Prueba que $f(m,n)\leq \frac{max\{m,n\}}{2}$.
c) Prueba que $f(m,n)$ no está acotada por arriba.

Problema del día martes 22 de mayo (Julio)

Encuentra todas las funciones de los reales a los reales tales que: para todos los reales .

Problema del dia 21 de mayo (Jorge)

Sean $\omega _1,\omega _2$ dos circunferencias. Sea $S$ el conjunto de tríangulos $ABC$, tal que $\omega _1$ es su circuncírculo y $\omega _2$ su excírculo, $\omega _2$ es tangente a $BC, AC, BC$ en $D,E,F$ respectivamente.
Para todo $ABC$ en $S$, demuestra que el gravicentro del $DEF$ es un punto fijo.

Problema Del Día, Viernes 18 de mayo del 2012 (Juan)

Va poquito temprano.
Determina todas las funciones f de reales a reales tales que para todos x,y reales,
$f\left(x-f(y)\right)=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$.

Problema del Día, Jueves 17 de Mayo (Adán)

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC+BC=3AB$. Sea $I$ el incentro de $ABC$ y sean $D$ y $E$ los puntos de tangencia del incírculo de $ABC$ con los lados $BC$ y $AC$ respectivamente. Sean $X$ y $Y$ los reflejados de $D$ y $E$ con respecto a $I$ respectivamente. Muestra que el cuadrilátero $ABYX$ está sobre una circunferencia.

Problema del Día, Miércoles 16 de Mayo (Chuck)

Sean $r_{1},r_{2},\dots,r_{n}$ reales positivos mayores o iguales a $1$. Prueba que: \[\frac{1}{r_{1}+1}+\frac{1}{r_{2}+1}+\dots+\frac{1}{r_{n}+1}\geq \frac{n}{\sqrt[n]{r_{1}r_{2}\dots r_{n}}+1}.\]

¡Fecha del siguiente entrenamiento!

¡Hola a todos! Creo que ya en estos días les escribirá Rogelio acerca del entrenamiento. Será en el IMTA, pero las fechas NO son las del engargolado, las fechas serán del 3 al 13 de mayo. Saludos a todos.

Resultados APMO

Roque
Montoya Diego Alonso 7 7 7 2 0 23


Garza Vargas Jorge 7 7 3 7 0 24


Ortiz Rhoton Juan Carlos 7 7 3 0 0 17


Medrano Martín del Campo Adán 7 7 2 0 0 16


González Cázares Jorge Ignacio 7 7 1 2 0 17


Díaz Calderón Julio César 7 7 0 0 0 14


Chiu Han Enrique 7 7 0 7 0 21


Sánchez Gómez José Angel 1 7 2 4 0 14


Astiazarán Tobín Alberto
Manuel 1 7 2 7 0 17


Guardiola Espinosa José Ramón 7 0 2 0 0 9


García Alvarez Ramón Iván 1 1 0 2 0 4


De la Paz Espinosa José
Alberto 2 0 2 0 0 4


Terán Ríos Diego 0 7 0 7 0 14

Problema del Viernes 30

Demuestre sin usar el Teorema de Dirichlet que si $(a,b)=1$, entonces existen una infinidad de enteros $k$ tales que $(ak+b,n)=1$ para todo $n$ natural.

Problema del día: Salón

Se tiene un salón con un acomodo de asientos de $m\times 2$. Hay un alumno sentado en cada asiento. El profesor les pide a los alumnos que cambien de lugar al dar una señal. La condición para cambiar es que se muevan a un asiento que esté a la izquierda, derecha, enfrente o atrás del suyo.

¿De cuántas formas puede ocurrir este cambio si al final también queda un alumno en cada asiento?

Problema del dia: Viernes

Sean $a_k< a_{k-1}<\cdots< a_1< n$ enteros positivos tales que $m.c.m(a_i,a_j)\le n$ para todo $i$, $j$ entre $1$ y $k$. Demuestre que $ia_i\le n$.

Problema del Día: Miercoles 21 de Marzo de 2012

Sea ABCD un cuadrilatero convexo tal que DB=BC=CA. AC y BD se intersectan en P. Sea I el incentro del triangulo BPC y sea O el circuncentro del triangulo APD. Demuestra que OI es perpendicular BC

Problema del día: Libros y estantes

En una biblioteca hay $n$ estantes, cada uno con al menos un libro. Se compran $k$ nuevos estantes y los libros se ordenan en los $n+k$ estantes, una vez más, con al menos un libro por estante.

Un libro se le llama privilegiado si está en un estante con menos libros que antes. Muestra que hay al menos $k+1$ libros privilegiados.

CDI: Lunes 19 de Marzo de 2012

Siguiendo el tono de la pasada CDI, les tengo unas preguntas preparadas sobre la sociedad en la que viven y su generación, por favor tómense el tiempo para contestar lo mas ampliamente que puedan, aunque no vean claro cual es el objetivo de las preguntas, confíen en que este existe, mas adelante lo veremos con mas detalle.

Las preguntas las puse en blanco para que vayan contestando de una por una antes de ver las otras (vayan seleccionando con el cursor para que las vean)

1- Que opinas de la sociedad en la que vives?

2- Cuales son los valores mas importantes en nuestra sociedad?

3- Cuales son los valores importantes para tu generación, la gente de tu edad?

4- Cuales dirías que son los valores mas importantes para ti?

5- Cuales son los problemas mas importantes de nuestra sociedad?

6- Cuales son los problemas mas importantes de tu generación?

7- Cuales son tus problemas mas importantes en este momento?

8- De quien depende resolver los problemas de la sociedad? Por que no se han resuelto?

9- De quien depende resolver los problemas de tu generación? Por que no se han resuelto?

10- De quien depende resolver tus problemas? Por que no se han resuelto?

11- A que piensas que aspira el mexicano promedio?

12- A que piensas que aspira el preparatoriano promedio?

13- Cuales son tus aspiraciones?

14- Por que la gente no logra realizar sus aspiraciones? Es mas culpa de ellos, o existe tal cosa como el maldito destino?

15- Que evitaría que tu realices las tuyas?

Continuara .........

Problema del Día: Jueves 15 de Marzo de 2012

Para $a,b>0$, sea $f(a,b)$ la raíz positiva de la ecuación
$$
(a+b)x^2 - 2(ab-1)x - (a+b) = 0.
$$
Sea $M=\{(a,b)~|~a\neq b, f(a,b)\leq\sqrt{ab}\}$. Determine el mínimo de $f(a,b)$ para $(a,b)\in M$.

Problema del dia: Viernes

Encuentra todos los enteros $1 < a < b < c$ tales que $(a-1)(b-1)(c-1)|abc-1$

Problema del Día: Jueves 1ro de Marzo de 2012

Hallar el mayor número real $k$ con la siguiente propiedad: Para cualesquiera números positivos $a,b,c$ tales que $kabc>a^3+b^3+c^3$, exista un triángulo de lados $a,b,c$.

Problema del día

Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia con centro $O$ y sin lados paralelos. Demuestra que las rectas que unen los puntos medios de lados opuestos se cortan en $O$ si y sólo si
$OA\cdot OC=OB\cdot OD$.

Problema del dia: Viernes

A) Demuestre que para todo entero $a>2$ existen una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $n|a^n-1$
B)Sea $n\ge 2$ natural. Si $\frac{b^n-1}{b-1}$ es potencia de un primo para algun entero positivo $b$, entonces $n$ es primo.

Problema del Día Jueves 23 (Álgebra)

Encuentra todos los polinomios $P(x,y)$ con coeficientes reales tales que para todos $a$, $b$, $c \in \mathbb{R}$ se tiene que
$$P(ab,c^2+1)+P(bc,a^2+1)+P(ca,b^2+1)=0.$$

Problemas del día: Dobles en el conjunto y palabras binarias

Determina si el conjunto $\{1,2,3,\ldots,3000\}$ contiene un subconjunto $A$ con $2000$ elementos tal que si $x$ está en $A$, entonces $2x$ no está en $A$.

Muestra que hay a lo más $\frac{2^n}{n+1}$ palabras binarias de $n$ d\'igitos que difieren en al menos $3$ lugares cada dos de ellas.

Competencia de Invierno: Lunes 20 de Febrero

Hola muchachos,

El día de ahora las preguntas serán diferentes, como quiera espero que todos las contesten (sin miedo y con seriedad). Las voy a ir poniendo poco a poco y les voy a dar algunos minutillos para cada una, dependiendo de la pregunta, como quiera, al final pueden volver a alguna y responderla mas y mejor si asi lo quieren, sale !!

Pregunta #1:  Dando un porcentaje del  0% al 100% cual es la probabilidad de que quedes en la selección Mexicana para la IMO?

Pregunta #2: En que lugar quedara México en la próxima IMO?

Pregunta #3: Si quedas en la selección cual seria tu tag más probable (MEX1, MEX2, etc.)

Pregunta #4: Que medallas crees que sacara MEX en la IMO (especifica, oros, platas, bronces y viajeros) 

Pregunta #5: Menciona 3 características que debe tener un olímpico (de cualquier país) para hacer el mejor papel posible en la IMO


Pregunta #6: Superheroe favorito

Pregunta #7: Cual crees que es la principal(es) razón(es) por la que alguien (de los seleccionados) no queda en la selección

Pregunta #8: Quienes 6 predices que irán?

Pregunta #9: Ya en Mayo, cuantas horas diarias crees que un seleccionado le debería dedicar para la IMO

Pregunta #10: Comida favorita

Pregunta #11: Que te han parecido los entrenamientos?

Pregunta #12: Que defecto tuyo tienes que combatir para lograr tu maximo en la IMO?

Pregunta #13: Cual tu opinión general de este grupo de seleccionados?

Pregunta #14: Escribe tu probabilidad de sacar Oro, Plata, Bronce o Viajero en la IMO (debe sumar 100%)

Pregunta #15: Porque crees que TU serias un buen candidato para representar a México en la IMO?

Pregunta #16: Y ya para finalizar, que palabras le dirías a tus compañeros para lograr lo mejor de lo que son capaces.

Problema del dia: Viernes

a) Sea $p$ un primo tal que $2p+1$ es primo, $p$ de la forma $4k+1$. Demuestra que $2$ es raiz primitiva modulo $2p+1$.
b) Sea $p$ primo. Determine el maximo grado de un polinomio $T(x)$ con coeficientes en $0,1,...,p-1$ y grado menor a $p$ que satisface $T(n)\equiv T(m) \mod{p}$ implica $m\equiv n \mod{p}$

Problema de ayer.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC=DE$,
$\angle BAC=\angle ABE= \angle AED-90^{\circ}$
y $\angle ADE=\angle ACB$.

Demuestra que $BCDE$ es un paralelogramo.

Problema del Día: Jueves 16 de Febrero de 2012

Hallar todas las funciones $h:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tales que

$h(x+y) + h(xy) = h(x)h(y) + 1$

para cualesquiera $x,y\in\mathbb{Z}$.

Nota: $\mathbb{Z}$ denota al conjunto de los números enteros.

Problema del dia

a) Sea $S(x)$ la suma de los digitos de $x$ en base decimal.Demuestre que para todo $p$ primo distinto de $2$ y $5$ la funcion $\frac{S(x)}{S(px)}$ no esta acotada para $x>0$.
b) Demuestre que $\frac{S(x)}{S(2x)}\le 5$ para todo $x>0$ y que esa cota no se puede mejorar.

Problema del día.

Demuestra que en cualquier triángulo, las rectas que unen el punto medio de cada lado con el punto medio de su altura correspondiente, se intersectan en el punto simediano del triángulo.

Problema del Día: Conjuntos de 3 con intersecciones pequeñas

Sea $X$ un conjunto con $n$ elementos y $S_1$, $S_2$, $\ldots$, $S_m$ subconjuntos de $X$, cada uno con $3$ elementos y tales que la intersección de cualesquiera dos tiene a lo más un elemento.

Muestra que existe un subconjunto $S$ de $X$ con al menos $\lfloor \sqrt{2n} \rfloor$ elementos tal que no contiene a ningún $S_i$ para $i=1,2,\ldots,m$.

Competencia de Invierno: Examen #3

Tiempo: 40 minutos !!!    Recuerden el código de honor !!!!!!

1- Las figuras , , , y  consisten de , , , y  cuadrados unitarios, respectivamente. Si continuamos el patrón, cuantos cuadrados unitarios tendrá la figura 100?

2- Un tablero de  renglones y  columnas tiene un numero escrito en cada cuadrado, empezando en la esquina superior izquierda, de tal forma que el primer renglon es , el segundo , y asi para abajo. Si el tablero es renumerado tal que la columna de la izquierda es (de arriba a abajo) , la segunda columna  y así sucesivamente. Algunos cuadrados tienen los mismos números en ambos casos. Encuentra la suma de estos números.

3- Si   son numeros positivos que satisfacen  and  encuentra el valor de .

4- A través de un punto en la hipotenusa de un triangulo rectangulo, se trazan lineas paralelas a los catetos del triangulo de tal forma que el triangulo queda dividido en un cuadrado y 2 triangulos rectangulos mas chicos. El area de uno de los triangulos chicos es  veces el area del cuadrado. Cual es la razon entre el area del otro triangulo chico y el area del cuadrado.

5- Si los arcos circulares  y  tienen centros en  y , respectivamente, entonces existe un circulo tangente a ambos  y , y a . Si la longitud de  es , entonces el perimetro del circulo es:

6- Ocho triángulos equilateros congruentes, cada uno de diferente color, son usados para construir un octaedro regular. Cuantas maneras distintas hay de construir el octaedro? (Dos octaedros coloreados se consideran distintos si ninguno de los 2 puede ser rotado para lucir como el otro.)

7- El producto de 3 enteros positivos consecutivos es 8 veces su suma. Cual es la suma de sus cuadrados?

8- Cuantos enteros diferentes pueden ser expresados como la suma de 3 números distintos del conjunto ?

9- Para cuantos enteros , es  el cuadrado de un entero?

10- La suma de  enteros positivos consecutivos es un cuadrado perfecto. Cual es el valor mas pequeño posible de esta suma?

11- Cuatro circulos distintos se dibujan en un plano. Cual es el máximo numero de puntos donde al menos 2 de los círculos se intersectan?

12- Si   son números reales positivos tales que   and , entonces el valor de  es:

13- Para todos los enteros positivos  menores que , sea

Calcular .

14- Un cuadrilátero convexo  con área  contiene un punto  en su interior tal que . Encontrar el perímetro de .

15- Enteros positivos   son escogidos tal que , y el sistema de ecuaciones

 

tiene exactamente una solución. Cual es el mínimo valor de ?