viernes, 11 de marzo de 2016

Maratón Geometría 1

Problema 0. $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Las diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en $P$. $P$. Las rectas $DA$ y $CB$ se encuentran en $Q$. El punto medio de $AB$ es $E$. Muestra que si $PQ$ es perpendicular a $AC$, entonces $PE$ es perpendicular a $BC$.

66 comentarios:

Ariel dijo...

Solución 0:
https://drive.google.com/file/d/0B4GQSVR63TrLT0VCX1hRSnV3a2M/view?usp=sharing

Problema 1:
Sea $ABC$ un triángulo y $D, E, F$ los pies de las alturas opuestos a $A$, $B$ y $C$ respectivamente. Sea $r$ el inradio de $ABC$. Muestra que
$AD + BE + CF \geq 9r$.

Olga Medrano dijo...

Solución 1:
https://www.dropbox.com/s/i3r1ehkduz3vndo/P1Geo0001.jpg?dl=0

Problema 2:
Sea $ABC$ un triángulo, $M$ punto medio de $AB$, $N$ punto medio de $AC$ y $T$ el punto medio del arco $BC$ en la circunferencia de $ABC$. Sea $X$ el cruce de la perpendicular a $AC$ por $N$ con el circuncirculo de $AMT$. Demuestra que $NXT=90$

Ariel dijo...

Solución 2:
https://www.dropbox.com/s/u0c4kxyi7yrkszq/Sol2.png?dl=0

Problema 3:
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Omega$, circuncentro $O$ y ortocentro $H$, y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente. Los rayos $MH$ y $NH$ cortan por segunda vez a $\Omega$ en $P$ y $Q$. Sea $R$ la intersección de $PQ$ y $MN$. Muestra que $AO \perp AR$.

Olga Medrano dijo...
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Olga Medrano dijo...
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Olga Medrano dijo...

Solución 3:
https://www.dropbox.com/s/bpp5onw5qwbpymn/P3Geeo0001.jpg?dl=0

Problema 4:
En el circuncírculo de $ABC$ , $T$ y $K$ son puntos medios de los arcos $BC$ y $BAC$ respectivamente . $E$ es pie de altura desde $C$ hacia $AB$ . Punto $P$ está en la extensión de $AK$ tal que $PE$ es perpendicular a $ET$ . Prueba que $PC$=$CK$.

Olga Medrano dijo...

Sugerencia Prob 4: https://www.dropbox.com/s/nw6cde56pdruq3q/Sugerencia%20P4.pdf?dl=0

Olga Medrano dijo...

Solución Problema 4
https://www.dropbox.com/s/ri13ijxyrt89vhr/Solucion%20P4.pdf?dl=0
Problema 5 (?)
Sea $ABCD$ un paralelogramo, con un ángulo obtuso en $A$. Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $A$ hasta $BC$, y $K$ la intersección de la mediana de $ABC$ desde $C$ con el circuncírculo de $ABC$. Prueba que $H, C, D, K$ son concíclicos.

Ariel dijo...

Solución Problema 5: https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nRTVteGJtTk1BbzA/view?usp=sharing

Problema 6: Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incentro $I$ cuyo incírculo es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $Q$ un punto en el incírculo de $\triangle ABC$ tal que $\angle AQD = 90^{\circ}$. Sea $P$ el punto en la recta $AI$ tal que $MD = MP$ y $P$ está en el interior del triángulo $ABC$.

Muestra que $\angle PQE = 90^{\circ}$ o $\angle PQF = 90^{\circ}$.

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 6: https://www.dropbox.com/s/0y4xx7eoecxfotc/Sol-G6.pdf?dl=0

Problema 7: Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triángulo agudo $ABC$. Demuestra que existen puntos $D, E, F$ en los lados $BC, CA, AB$, respectivamente tales que $OD+DH=OE+EH=OF+FH$ y las rectas $AD, BE$ y $CF$ concurren.

Ariel dijo...

Solución 7:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4ndnhQUWhNUlBMbGs/view?usp=sharing

Problema 8.
Sea $ABC$ un triángulo escaleno y sean $K_a, L_a, M_a$ los puntos de intersección de la recta $BC$ con la bisectriz interna, la bisectriz externa, y la mediana desde $A$, respectivamente. Sea $X_a$ la intersección de la recta $AM_a$ con la circunferencia de diámetro $K_aL_a$, distinta de $M_a$. Se definen análogamente $X_b$ y $X_c$. Demostrar que el circuncentro del triángulo $X_aX_bX_c$ está en la recta de Euler del triángulo $ABC$.

Ariel dijo...

Correción: "...intersección de la recta $AM_a$ con la circunferencia de diámetro $K_aL_a$, distinta de $A$..."

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 8: https://www.dropbox.com/s/rjf8aepvkwfv2l1/image.png?dl=0

Problema 9: Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una línea variable $l$ que pasa por el punto $A$ intersecta a los rayos $BC$ y $DC$ en $X$ y $Y$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ los centros de los excírculos de los triángulos $ABX$ y $ADY$, que tocan a $BX$ y $DY$, respectivamente. Prueba que el $\angle KCL$ es constante sin importar la elección de la línea $l&.

José Ramón Tuirán dijo...
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José Ramón Tuirán dijo...

Solución 9: https://drive.google.com/open?id=0BzJCrR_cmk8KR21lRHNORXZRS1k

Problema 10.
Sea $XABY$ un cuadrilátero inscrito en un semicírculo $w$, con $XY$ como diámetro. Los segmentos $AY$ y $BX$ se cortan en $P$. $Z$ es el pie de la perpendicular de $P$ a $XY$. El punto $C$ pertenece a $w$ de tal forma que $AC$ es perpendicular a $AZ$. Sea $Q$ la intersección de $AY$ y $XC$. Pruebe que: $\frac{BY}{XP}+ \frac{CY}{XQ}= \frac{AY}{AX}$

José Ramón Tuirán dijo...

Corrección $XC$ perpendicular a $AZ$

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 10: https://www.dropbox.com/s/rjf8aepvkwfv2l1/image.png?dl=0

Problema 11: Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro sea $D$ la intersección de $BH$ y $AC$ Y $E$ la intersección de $CH$ y $AB$. El circuncírculo de $ADE$ corta al circuncírculo de $ABC$ en $F$ diferente de $A$. Prueba que las bisectrices de $\angle BFC$ y $\angle BHC concurren en un punto sobre $BC$

Antonio Lopez Guzman dijo...

Solucion 11:
https://www.dropbox.com/s/arg18hlemec9hke/Photo%2030-03-16%2013%2015%2014.jpg?dl=0

Antonio Lopez Guzman dijo...
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Antonio Lopez Guzman dijo...

Problema 12:
Sea $ABCD$ un cuadrilatero ciclico, y sean $P$, $Q$ y $R$ los pies de las perpendiculares desde $D$ sobre $BC$ , ,$CA$ y $AB$ respectivamente.Prueba que $PQ=QR$ si y solo si las biscetrices de los angulos $ABC$ y $ADC$ oncurren en $AC$.

Alef dijo...

Solución 12: https://www.dropbox.com/s/j439or47r265sul/SolG12.pdf?dl=0
Problema 13:
Sea $ABC$ un triangulo escaleno con circuncirculo $\Omega$. El incirculo de $ABC$ es tangente a $BC$ en $D$. La bisectriz del $\angle A$ intersecta $BC$ y $\Omega$ en $E$ y $F$. El circuncirculo del triangulo $DEF$ intersecta el $A$ excirculo en $S_1,S_2$ y $\Omega$ en $T$ distinto de $F$. Demuestra que $AT$ pasa por $S_1$ o $S_2$.

Ariel dijo...

Solución 13:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nR1lnYXd0bHd1b28/view?usp=sharing

Problema 14:
Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La circunferencia con centro $A$ y radio $AI$ intersecta al circuncírculo de $ABC$ en $M$ y $N$. Muestra que $MN$ es tangente al incírculo de $ABC$

Ariel dijo...
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Ariel dijo...

$D$ prima es $D_1$ en toda la solución anterior. Me confundí.

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 14: https://www.dropbox.com/s/a997y02ux7dte7r/image.jpeg?dl=0

Problema 15: Los puntos $K,L,M,N$ son respectivamente los puntos medios de $AB, BC, CD, DA$ del cuadrilátero convexo $ABCD$. La recta $KM$ intersecta las diagonales $AC$ y $BD$ en $P$ y $Q$, respectivamente. La recta $LM$ intersecta las diagonales $AC$ y $BD$ en $R$ y $S$. Muestra que si $AP\times PC=BQ\times QD$ entonces $AR\times RC=BS\times SD$

Víctor Hugo Almendra dijo...

Corrección: ...la recta $LN$ intersecta a $AC$ y $BD$ en $R$ y $S$...

José Ramón Tuirán dijo...

Solución 15: https://drive.google.com/open?id=0BzJCrR_cmk8KcGlRMEZ2bXRVZGM

Problema 16: Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Suponga que $AD$ y $BC$ se intersectan en $P$ y $AC$ y $BD$ en $Q$. Si $E$, $F$ y $G$ son los puntos medios de $AB$, $DC$ y $PG$, respec., pruebe que estos puntos son colineales.

Ariel dijo...

Me imagino que $G$ es el punto medio de $PQ$. En ese caso:
Solución 16.
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nRTk5ZEZRQUZtUjQ/view?usp=sharing

Problema 17:
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que el ángulo en $B$ es mayor que el ángulo en $C$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. $D$ y $E$ son los pies de las alturas desde $C$ y $B$ respectivamente. $K$ y $L$ son los puntos medios de $ME$ y $MD$ respectivamente. Si $KL$ intersecta a la paralela a $BC$ por $A$ en $T$, demuestra que $TA = TM$.

José Ramón Tuirán dijo...

Solución 17: https://drive.google.com/open?id=0BzJCrR_cmk8KOEJPTWU5RkRuams

https://drive.google.com/open?id=0BzJCrR_cmk8KZU9QTTNEdTh4am8

Problema 19:
Sea $ABCD$ un paralelogramo con $ \angle ABC \ge 90º$, y $l$ la recta perpendicular a $BC$ que pasa por $B$. Suponga que el segmento $CD$ no corta a $l$. De todas las circunferencias que pasan por $C$ y $D$ hay una que es tangente a $l$ en $P$ y otra que tangente a $l$ en $Q$. Si $M$ es el punto medio de $AB$, pruebe que $\angle PMD= \angle QMD$.

José Ramón Tuirán dijo...
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José Ramón Tuirán dijo...

Un error de dedo. Debería decir: "...$\angle ABC> 90$".

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 18: https://www.dropbox.com/s/31j8pv3z5v97fsr/Sol%20G18.pdf?dl=0

Problema 19: Sea $P$ un polígono convexo de $2010$ vértices. Las $1005$ diagonales que unen vértices opuestos y las $1005$ líneas que conectan los puntos medios de lados opuestos concurren (las $2010$ líneas concurren). Prueba que los lados opuestos de $P$ son paralelos y tienen la misma longitud.

Ariel dijo...

Solución 19:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nanZLT3hYaGxFQTA/view?usp=sharing

Problema 20:
En el triángulo acutánglo $ABC$ los puntos $D,E$ y $F$ son los pies de las alturas desde $A,B$ y $C$ respectivamente. Los incentros de los triángulos $AEF$ y $BDF$ son $I_1$ e $I_2$ respectivamente; los circuncentros de los triángulos $ACI_1$ y $BCI_2$ son $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Muestra que $I_1I_2$ y $O_1O_2$ son paralelas.

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 20: https://www.dropbox.com/s/rvwlayamkfjnvub/Sol%20G20.pdf?dl=0

Problema 21: Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB$ distinto de $AC$. Sean $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de $BC$. Se toman los puntos $D$ y $E$ sobre $AB$ y $AC$ respectivamente, de modo que $AE=AD$ y $D,H,E$ son colineales. Prueba que $HM$ es perpendicular a la cuerda común de los circuncírculos de los triángulos $ABC$ y $ADE$.

Alef dijo...

Solución 21: https://www.dropbox.com/s/4tm0yagqktige3e/SolG21.pdf?dl=0

Problema 22: Sea $ABC$ un triangulo agudo escaleno y sean $M,N,P$ los puntos medios de $BC,CA,AB$ respectivamente. Las mediatrices de $AB,AC$ intersectan $AM$ en los puntos $D,E$ respectivamente. Las lineas $BD,CD$ se intersectan en el punto $F$ dentro del tirangulo $ABC$. Demuestra que $A,N,F,P$ son conciclicos.

Ariel dijo...

Solución 22:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nTy1pbU5mMlhaX1k/view?usp=sharing

Problema 23:
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $P$ el pie de la altura desde $A$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Supón que $\angle C \geq \angle B + 30^{\circ}$. Demuestra que $\angle A + \angle COP \textless 90^{\circ}$.

José Ramón Tuirán dijo...
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José Ramón Tuirán dijo...
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José Ramón Tuirán dijo...

Solución 23:
https://drive.google.com/open?id=0BzJCrR_cmk8KUFNFaEpHUWsyTkU
https://drive.google.com/open?id=0BzJCrR_cmk8KeTh6cTJOQy1yVDA

Problema 24.
Sea $ABC$ un triángulo, y sean $A_1, B_1, C_1$, los puntos de tangencia del incirculo con $BC, AC, AB$ respectivamente. Sea $X$ el punto de intersección del excírculo con respecto $A$, con $AB$, y $M$ el punto medio de $BC$. Sea D la intersección de $XM$ con $B_1C_1$. Pruebe que $\angle C_1A_1D= 90$

Ariel dijo...

Solución 24.
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4ndUo0TWdVMVQxRWs/view?usp=sharing

Problema 25.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $P, Q$ puntos sobre su lado $BC$. Sea $C_1$ un punto tal que el cuadrilátero $APBC_1$ es convexo y cíclico, $QC_1 \parallel CA$, y $C_1$ y $Q$ están en lados opuestos de la recta $AB$. Sea $B_1$ un punto tal que el cuadrilátero $APCB_1$ es convexo y cíclico, $QB_1 \parallel BA$, y $B_1$ y $Q$ están en lados opuestos de la recta $AC$. Muestra que los puntos $B_1, C_1, P$ y $Q$ son concíclicos.

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 25: https://www.dropbox.com/s/vb179vkvmzaxcky/Sol%20G25.pdf?dl=0

Problema 26: La circunferencia $\Gamma$ y la línea $l$ no se intersectan. Sea $AB$ el diámetro de $\Gamma$ perpendicular a $l$ con $B$ más cercano a $l$ que $A$. Un punto arbitrario $C\neq A,B$ se toma sobre $\Gamma$. La línea $AC$ intersecta a $l$ en $D$. La línea $DE$ es tangente a $\Gamma$ en E, con $B$ y $E$ del mismo lado de $AC$. $BE$ intersecta a $l$ en $F$, y $AF$ intersecta a $\Gamma$ en $G \neq A$. Prueba que la reflexión de $G$ respecto a $AB$ cae en la línea $CF$.

Alef dijo...

Solución 26: https://www.dropbox.com/s/zv3v325xfw03xpn/Sol%20G26.pdf?dl=0

Problema 27: Sean $C_1,C_2$ circulos concentricos, con $C_2$ dentro de $C_1$. Desde un punto $A$ en $C_1$ dibujamos la tangente $AB$ a $C_2$ con $B$ en $C_2$. Sea $C$ el segundo punto de intersección de $AB$ y $C_1$, y $D$ el punto medio de $AB$. Una línea que pasa por $A$ intersecta $C_2$ en $E,F$ de forma que las mediatrices de $DE,CF$ se intersectan en un punto $M$ en $AB$. Encuentra la razón $\dfrac{AM}{MC}$

Ariel dijo...
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Ariel dijo...

Solución 27:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nNWxfMWIwVnNmaWs/view?usp=sharing

Problema 28:
Sea $ABC$ un triángulo y sean $D, E$ puntos sobre los lados $AB$ y $BC$ respectivamente tales que $DE \parallel AC$. Una circunferencia pasa por $D$ y $E$ y es tangente al circuncírculo del triángulo $ABC$ en un punto $P \neq B$. Sea $Q$ el punto simétrico a $P$ respecto a la mediatriz de $AC$ y sea $X$ la intersección de los segmentos $BQ$ y $DE$. Muestra que $XA = XC$.

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 28: https://www.dropbox.com/s/ttxkclbytvir0cf/Sol%20G28.pdf?dl=0

Problema 29: Dos circunferencias se cortan en $A$ y $B$. La línea $l$ pasa por $A$ y corta a las circunferencias nuevamente en $C$ y $D$, respectivamente. Sean $M.N$ los puntos medios de los arcos $BC$ y $BD$ que no contienen a $A$, respectivamente, y $K$ el punto medio de $CD$. Muestra que $\angle MKN=90$

Ariel dijo...

Solución 29:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nX1BSYmx2bXVfbVU/view?usp=sharing

Problema 30:
Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$ y sea $\ell_1$ una recta tangente al incírculo. Una recta $\ell$ distinta de $\ell_1$ intersecta a $BC, CA, AB$ en $A_1, B_1, C_1$ respectivamente. La tangente al incírculo por $A_1$, distinta de $BC$, intersecta a $\ell_1$ en $A_2$. Se definen análogamente $B_2$ y $C_2$. Muestra que $AA_2$, $BB_2$ y $CC_2$ son concurrentes.

Ariel dijo...

Hints Problema 30:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4naGYxbXdFT0w2cms/view?usp=sharing

José Ramón Tuirán dijo...

Solución Problema 30: https://drive.google.com/open?id=0BzJCrR_cmk8KYlMyU0ZGaW1PT00
https://drive.google.com/open?id=0BzJCrR_cmk8KQ1J2dVl2NlRGY1U

Problema 31: Sea $ABC$ un tríangulo, y $D, E, F$ sus pies de altura desde $A, B, C$ respectivamente. Si $ EF, FD, DE$ se intersectan con $BC, AC, AB$, respectivamente en $L, M, N$. Pruebe que $L, M, N$ son colineales, y que la recta que pasa por el circuncentro y el otrocentro es perpendicular a esta línea.

Ariel dijo...

Solución 31:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nVU90b21TMmFRQ3M/view?usp=sharing

Problema 32:
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, $P$ la intersección de las rectas $BC$ y $AD$ y $Q$ la intersección de las rectas $AB$ y $CD$.
a) Muestra que los puntos medios de $AC$, $BD$ y $PQ$ son colineales sobre una recta $\ell_M$.
b) Muestra que los ortocentros de los triángulos $PAB$, $PCD$, $QAD$ y $QBC$ son colineales sobre una recta $\ell_H$, que es perpendicular a $\ell_M$.

Ariel dijo...
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Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 32: https://www.dropbox.com/s/je8o62f7axsttg9/Sol%20G32.pdf?dl=0

Problema 33: Sea $ABCD$ un paralelogramo con ángulo obtuso en $A$. Sea $H$ el pie de la perpendicular de $A$ a $BC$. La mediana desde $C$ en el triángulo $ABC$ corta al circuncírculo de $ABC$ en $K$. Prueba que $K,H,C,D$ son concíclicos.

Ariel dijo...

Solución 33: https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nRTVteGJtTk1BbzA/view?usp=sharing

Problema 34:
Sea $\Omega$ una circunferencia y $\omega$ otra circunferencia, con centro $O$, contenida en $\Omega$. Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $\Omega$, sea $\ell_1$ la recta que pasa por las intersecciones de $\Omega$ con la circunferencia de centro $P$ y radio $PI$, y sea $\ell_2$ la recta que pasa por las intersecciones de $\Omega$ con la circunferencia de centro $Q$ y radio $QI$.

Muestra que $\ell_1$ es tangente a $\omega$ si y solo si $\ell_2$ es tangente a $\omega$.

Ariel dijo...

Corrección:
"...centro $P$ y radio $OP$..."
"...centro $Q$ y radio $OQ$..."

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 34: https://www.dropbox.com/s/zwu1388ife6vddl/Sol%20G34.pdf?dl=0

Problema 35: Sea $M$ el punto medio de la bisectriz interna $AD$ del triángulo $ABC$. La circunferencia $\omega _{1}$ con diámetro $AC$ intersecta al segmento $BM$ en $E$, y la circunferencia $\omega _{2}$ de diámetro $AB$ intrsecta al segmento $CM$ en $F$. Muestra que $B,E,F,C$ son concíclicos.

Olga Medrano dijo...

Solución 35:
https://www.dropbox.com/s/qzmm26vqm5waanm/13055366_1024298480956608_6577758292940240571_n.jpg?dl=0
Problema 36:
En el triángulo $ABC$, escogemos los puntos $P$, $Q$, $R$ en los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Sean $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ los circuncírculos de los triángulos $AQR$, $BRP$, $CPQ$, respectivamente. Si $AP$ intersecta a $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ de nuevo en $X$, $Y$, $Z$, respectivamente, prueba que $YX/XZ=BP/PC$.

Ariel dijo...

Solución 36:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nZzNBc0J0M3dkc3c/view?usp=sharing

Problema 37:
Sea $\mathcal{P}$ una parábola y sean $A, B, C$ puntos distintos sobre ella. Las rectas tangentes a $\mathcal{P}$ en $A, B$ y $C$ determinan un triángulo $XYZ$. Muestra que a medida que $A$, $B$ y $C$ varían sobre $\mathcal{P}$, el ortocentro de $\triangle XYZ$ se mueve sobre una recta fija.

Nota: Una parábola es la curva formada por los puntos que equidistan de un punto fijo $F$ y una recta fija $\ell$.

Ariel dijo...

Hints Problema 37:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nRDhGQnhqVG5kZUU/view?usp=sharing

José Ramón Tuirán dijo...

Solución 37: https://drive.google.com/open?id=0BzJCrR_cmk8KOGJfWTUwNWRwUzA

https://drive.google.com/open?id=0BzJCrR_cmk8KMU9VN0R3VTAwS1U

Problema 38:
Sea $ABC$ un triángulo. Un círculo corta sus lados $BC, AC, AB$ en $D_1, D_2, E_1, E_2, F_1, F_2$, respectivamente. Sea $M$ la intersección de $E_1F_1$ y $E_2D_2$, $L$ la intersección de $D_1E_1$ y $D_2F_2$, y $N$ la intersección de $F_1D_1$ y $F_2D_2$. Pruebe que $AL, BM, y CN$ concurren.

Alef dijo...

Solución 38: https://www.dropbox.com/s/3u1c4sngsd4qtue/SolG38.pdf?dl=0

Problema 39: Un pentagono equilatero $AMNPQ$ es inscrito en un triangulo $ABC$ tal que $M$ esta en $AB$, $Q$ en $AC$ y $N,P$ en $BC$. Sea $S = MN \cap PQ$. Denotemos por $l$ la bisetriz del $\angle MSQ$. Demuestra que $OI$ es paralelo a $l$ donde $O$ es el circuncentro de $ABC$ e $I$ su incentro.

Ariel dijo...

Solución 39: https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nX0NmTGZpVjZzNG8/view?usp=sharing

Problema 40: En el cuadrilátero convexo $ABCD$, la diagonal $BD$ no biseca a ninguno de los ángulos $ABC$ y $CDA$. El punto $P$ está en el interior de $ABCD$ y cumple que

$\angle PBC = \angle DBA$ y $\angle PDC = \angle BDA$

Muestra que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico si y solo si $AP = CP$.

Alef dijo...

Solución 40: https://www.dropbox.com/s/t7xjv6a5h64sfsx/SolG40.pdf?dl=0

Problam 41: Sea $ABC$ un triangulo y $K,L$ los puntos medios de $AB,AC$. Sea $P$ la segunda intersección de los circulos $(ABL)$ y $(AKC)$. Sea $Q$ el segundo punto de intersección de $AP$ y el circuncírculo de $AKL$. Demuestra que $2AP = 3AQ$.

Ariel dijo...

Solución 41: https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nRUQyZDNIVWdJeW8/view?usp=sharing

Problema 42: Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ e incentro $I$.

a) Demuestra que el incírculo y la circunferencia de los nueve puntos de $\triangle ABC$ son tangentes en un punto $F$.

b) Prueba que las reflexiones de la recta $OI$ con respecto a los lados del triángulo formado por los puntos de tangencia del incírculo de $\triangle ABC$ con $BC, CA$ y $AB$ concurren en $F$.

Ariel dijo...

Hint:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nd1lXQ0d1cmF2WVE/view?usp=sharing

Ariel dijo...

Más hints:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nd051VmpDdkZtMDA/view?usp=sharing

Ariel dijo...

Corrección del Hint 2: $A_1, B_1, C_1$ son las intersecciones de las perpendiculares de $A'$ a $AI$, de $B'$ a $BI$ y de $C'$ a $CI$ con el circulo de los nueve puntos de $\triangle ABC$.

Ariel dijo...

Las $A, B, C$ en el comentario anterior deberían ser $A$ prima, $B$ prima y $C$ prima

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