viernes, 11 de marzo de 2016

Maratón Teoría de Números 1

Problema 0. Para cualquier entero $n\geq 2$ definimos $A_n$ como el número de enteros positivos $m$ con la siguiente propiedad: la distancia de $n$ al menor múltiplo de $m$ es igual a la distancia de $n^3$ al múltiplo más cercano de $m$. Determina todos los enteros $n\geq 2$ para los cuales $A_n$ es impar.

Nota: La distancia entre dos enteros $a$ y $b$ es $|a-b|$.

18 comentarios:

Alef dijo...

Solución: https://www.dropbox.com/s/p5qn8binfw2bsoq/SolN0.pdf?dl=0

Problema 1: Demuestra que todos los racionales positivos pueden ser representados en la forma $\dfrac{a^3+b^3}{c^3+d^3}$ donde $a,b,c,d$ son enteros positivos.

Alef dijo...

Hints Problema 1: https://www.dropbox.com/s/kas6zgoy0dpahr2/Hint%20N1.pdf?dl=0

Alef dijo...

Solución Problema 1: https://www.dropbox.com/s/jihxv3qrswpmynt/SolN1.pdf?dl=0

Problema 2: Demuestra que la expresión $\dfrac{(m,n)}{n} \dbinom{n}{m}$ es un entero para todos los enteros positivos con $n \ge m \ge 1$ donde $(m,n)$ denota el máximo común divisor de $m,n$.

Olga Medrano dijo...

Solución Problema 2: https://www.dropbox.com/s/cyh8the72rtons0/12928118_1011825795537210_6582124350935550288_n.jpg?dl=0
Problema 3:
Encuentra las ternas $(x,y,z)$ de enteros positivos que cumplen la siguiente ecuación:
$3^x-5^y=z^2$

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 3: https://www.dropbox.com/s/a997y02ux7dte7r/image.jpeg?dl=0

Problema 4: Sea $m$ un entero mayor a $1$. La secuencia $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$. Se define $x_{i}=2^{i}$ si $0\leq i\leq m-1$ y $x_{i}=x_{i-m}+x_{i-m+1}+\cdots +x_{i-1}$ si $i\geq m$. Encuentra el mayor valor $k$ para el cual la secuencia tiene $k$ términos consecutivos múltiplos de $m$.

Víctor Hugo Almendra dijo...

Link correcto a solución: https://www.dropbox.com/sh/0db5mi64q247e09/AABiK3_4A_sN65plxgEliOBka?dl=0

Ahí vienen varias de mis soluciones pasadas que he puesto, pues por ciertas fallas los links de algunas soluciones no funcionan.

Olga Medrano dijo...

Corrijo mi solución del problema 2, tenia un detalle que se me fue:
https://www.dropbox.com/s/8qlqwn6tgkg9m13/N2c.jpg?dl=0

Víctor Hugo Almendra dijo...

Hints para el problema 4: https://www.dropbox.com/s/r405zj0greidrht/Hint%20N4.pdf?dl=0

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 4: https://www.dropbox.com/s/i3eb5zxyftcciyl/Sol%20N4.jpg?dl=0

Problema 5: Determina todos los enteros $n\geq 2$ que satisfacen que para todos $a,b$ primos relativos con $n$, $a\cong b (mod n)$ si y solo si $ab\cong 1 (mod n)$.

Ariel dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Ariel dijo...

Solución 5:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4naW8wTTdZOUxLbFU/view?usp=sharing

Problema 6:
Sea $n$ un entero positivo tal que $28n^2 + 1$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que $2 + 2\sqrt{28n^2 + 1}$ es un cuadrado perfecto.

Alef dijo...

Solución 6: https://www.dropbox.com/s/2h007v3cuf6se99/SolN6.pdf?dl=0

Problema 7: Definamos un número hermoso como un entero de la forma $a^n$ con $a = 3,4,5$ o $6$ tal que $n$ es un entero positivo. Demuestra que todos los enteros mayores que $2$ se pueden expresar como suma de enteros hermosos distintos.

Ariel dijo...

Solución 7:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4neUZ5WmRPbDF3UUE/view?usp=sharing

Problema 8:
Determina todas las ternas de enteros positivos $(a, b, c)$ que satisfacen la ecuación
$$(a^3 + b)(b^3 + a) = 2^c$$

Ariel dijo...

Y ahora, una solución un poco menos grotesca del 7:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nRm9hVzh3eGxyU0k/view?usp=sharing

Víctor Hugo Almendra dijo...

Solución 8: https://www.dropbox.com/s/o41qdnfvqnk047g/Sol%20N8.pdf?dl=0

Problema 9: Sean $a,b$ números racionales tales que $a+b$ y $a^{2}+b^{2}$ son enteros. Prueba que $a$ y $b$ son enteros.

Ariel dijo...

Solución 9:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4nVGpBaWdyQ0JyWG8/view?usp=sharing

Alternativamente, una solución bien escrita del 9:
https://drive.google.com/file/d/0B-Pv6Th_qH4ndGFqaHAtbmRKYUk/view?usp=sharing

Problema 10:
Determina todas las parejas de enteros positivos $(x, p)$ tales que $p$ es primo, $x \leq 2p$ y $x^{p - 1}$ divide a $(p - 1)^x + 1$.

Ariel dijo...

Nota: Al principio de la segunda solución suponemos que $(p, q, r) = 1$.

Olga Medrano dijo...

Solucion 9:
https://www.dropbox.com/s/zvuu1ra1v08pjsl/Solucion%20N9.pdf?dl=0
Problema 10:
Denotemos con $d(a,b)$ al número de divisores del natural $a$, que son mayores o iguales que $b$. Encuentra todos los naturales $n$, para los cuales
$d(3n+1,1)+d(3n+2,2)+\ldots+d(4n,n)=2006.$

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