lunes, 14 de marzo de 2011

Competencia de Invierno: Examen #7 (1 hora)

Recuerden el codigo de honor !!!!!!!!!!!!!


1- Dada una función f para la cualf(x) = f(398 - x) = f(2158 - x) = f(3214 - x)se cumple para todo real x, cual es el numero mas grande de valor3s diferentes que pueden aparecer en la lista f(0),f(1),f(2),\ldots,f(999)?

2- Sea S la suma de todos los numeros de la forma a/b,donde a y b son primos relativos divisores positivos de 1000. Cual es el entero mas grande que no se pasa de  S/10?

3- En el triangulo ABC, es dado que los angulos B y C son congruentes. Los puntos P y Q yacen en  \overline{AC} y \overline{AB}, respectivamente, de tal forma que AP = PQ = QB = BC. El angulo ACB es r veces tan grande como el angulo APQ, donde r es un numero real positivo. Encontrar el mayor entero que no se pasa de 1000r.






4- Supongan que x, y, and z son 3 números positivos que satisfacen las ecuaciones  xyz = 1, x + \frac {1}{z} = 5,  y + \frac {1}{x} = 29. Entonces z + \frac {1}{y} = \frac {m}{n}, donde m y n son enteros positivos primos relativos. Encontrar m + n.

5- En el triangulo ABC, AB=13, BC=15, y CA = 14. El punto D esta en \overline{BC} con CD=6. El punto E esta en \overline{BC} tal que \angle BAE\cong \angle CAD. Dado que BE=\frac pq donde p y q son enteros positivos primos relativos, encuentra q.

6- Sea P(x) un polinomio con coeficientes enteros que satisface P(17)=10 y P(24)=17. Dado que P(n)=n+3 tiene 2 distintas soluciones enteras n_1 y n_2, encuentra el producto n_1\cdot n_2.

7- Sea \displaystyle m un entero positivo, y sea a_0, a_1,\ldots,a_m una sucesion tal que \displaystyle a_0 = 37, a_1 = 72, a_m = 0, y  a_{k+1} = a_{k-1} - \frac 3{a_k}  para  k = 1,2,\ldots, m-1. Encontrar \displaystyle m.

8- Dado que O es un octaedro regular, que C es el cubo cuyos vertices son los centros de las caras de O, y que la razon del volumen de O al volumen de C es \frac mn, donde m y n son enteros primos relativos, encontrar m+n.

9- Los circulos C_1 y C_2 son tangentes externamente, y ambos son internamente tangentes al circulo  C_3. Los radios de C_1 y C_2 son 4 y 10, respectivamente, y los centros de los 3 circulos son colineales. Una cuerda de C_3 es tambien una tangente externa comun de  C_1 y C_2. Dado que la longitud de la cuerda es  \frac{m\sqrt{n}}p donde m,n, y p son enteros positivos, m y p son primos relativos, y n no es divisible  por el cuadrado de ningun primo, encontrar m+n+p.

10- Encontrar el numero de enteros positivos que son divisores de al menos uno de  10^{10},15^7,18^{11}.

11- Considera sucesiones que consisten enteramente de A's y B's y que tienen la propiedad que cada conjunto de A's consecutivas tiene longitud par, y cada conjunto de B's consecutivas tiene longitud impar. Ejemplos de sucesiones son de este tipo son AA, B, y AABAA, mientras que BBAB no seria una sucesion del tipo. Cuantas sucesiones de este tipo tienen longitud 14?

12- Sea S_i el conjunto de todos los enteros n tal que 100i\leq n < 100(i + 1). Por ejemplo, S_4 es el conjunto {400,401,402,\ldots,499}. Cuantos de los conjuntos S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999} no contienen un cuadrado perfecto?

13- De el conjunto de enteros \{1,2,3,\dots,2009\}, escoge k pares \{a_i,b_i\} con a_i<b_i tal que no hay 2 pares que tengan un elemento en comun. Supongan que todas las sumas a_i+b_i son distintas y menores o iguales que 2009. Encuentra el maximo valor posible de k.



14- Encuentra el mayor entero n que satisface las sigs condiciones:
(i) n^2 puede ser expresado como la diferencia de 2 cubos consecutivos;
(ii) 2n + 79 es un cuadrado perfecto.

45 comentarios:

Adán dijo...

Disculpa David, quisiera saber si puedo hacer el examen, ya que me cortaron de los oros, pero me interesa hacer los últimos 2 exámenes. Gracias.

David (sirio11) dijo...

Claro que si Adan, tu has estado en la mayoria asi que si tienes derecho a hacer los ultimos.

David (sirio11) dijo...

Ahora si son las 9PM alla verdad?, jajaja, lo andaba publicando una hora antes por este relajo del cambio de horario.

Manuel Alejandro dijo...

prob 10: 434

Enrique dijo...

p10 435

Jorge 'Chuck' dijo...

1. 2

Flavio dijo...

pr 10 = 2311

Manuel Alejandro dijo...

Prob 4: 5

Enrique dijo...

p.2 248 (contando parejas que involucran al 1)

Georges dijo...

Esta bien el 5?? la redacción?

David (sirio11) dijo...

Si Georges, que no esta claro?

Adán dijo...

Problema 8: 11

Enrique dijo...

p.6 889

Enrique dijo...

oh **** la respuesta al problema 7 es 889, NO al problema 6 (error de dedo)

Georges dijo...

5.- 463

Jorge 'Chuck' dijo...

5. 13

Flavio dijo...

pr 8 = 11

DANIELIMO dijo...

P3 B y C son congruentes implica que ABC isosceles?

Flavio dijo...

pr 14 = 1

David (sirio11) dijo...

Supongo que si Daniel

Manuel Alejandro dijo...

prob 11: 160

Jorge 'Chuck' dijo...

2. 2480

Jorge 'Chuck' dijo...

perdon, el 2 es 248

Diego627 dijo...

prob 10-435

DANIELIMO dijo...

p4=5

Flavio dijo...

pr 6 =408

David (sirio11) dijo...

Les quedan 10 minutos !!!!!!!!!!!!

Flavio dijo...

pr 6 =398

Georges dijo...

7.- 889

David (sirio11) dijo...

TIEMPO !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Georges dijo...

Cuanto es el 5???

David (sirio11) dijo...

La respuesta del 5 es 463

David (sirio11) dijo...

Se les hizo dificil?

Manuel Alejandro dijo...

más que otros, pero me pareció buen nivel

Georges dijo...

Pues solo me salieron dos y me acabo de dar cuenta que uno ya lo habian escrito antes que yo!! jaja..

David (sirio11) dijo...

Respuestas:

1- 177
2- 248
3- 571
4- 5
5- 463
6- 418
7- 889

Manuel Alejandro dijo...

En el de inclusión exclusión m faltó considerar un caso...

David (sirio11) dijo...

8- 11
9- 405
10- 435
11- 172
12- 708
13- 803
14- 181

Manuel Alejandro dijo...

el 11 no es 192 ¿?

Enrique dijo...

sí Manuel, yo lo note XD

David (sirio11) dijo...

El 11 es 172 Manuel

David (sirio11) dijo...

Creo que hubo algunos que nadie contesto verdad? como cuantos alcanzaron a hacer en la hora?

Manuel Alejandro dijo...

Cierto, chequé un caso incorrecto

Manuel Alejandro dijo...

Y para cuando habrá resultados, sería interesante verlos antes del 8vo examen

David (sirio11) dijo...

Si, efectivamente seria interesante, jejeje

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