jueves, 31 de marzo de 2011

Problema del día: Jueves 31 de marzo del 2011, Algebra

Sean $x$ y $y$ numeros reales con $y \geq 0$. Muestra que si
$y(y + 1) \leq (x + 1)^2$, entonces $y(y-1) \leq x^2$.

11 comentarios:

Flavio dijo...

como $y^2+y-(x+1)^2\le 0$ entonces y debe estar entre las soluciones de esa cuadratica en y.
entonces $\frac{-1-\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2}\le y \le \frac{-1+\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2}$ y $y\ge 0$ Para que se cumpla la segunda debe ocurrir algo similar, entonces solo hay que ver que el intervalo de las soluciones de la primera cuadratica esta dentro del rango de la otra (al menos la parte no negativa pues $y\ge 0$) luego la solucion positiva(la otra es negativa) de la segunda cuadratica es
$\frac{1+\sqrt{1+4x^2}}{2}$ y solo hay que ver que es mayor o igual a $\frac{-1+\sqrt{1+4(x+1)^2}}{2}$ si y solo si
$2+\sqrt{1+4x^2}\ge\sqrt{1+4(x+1)^2}$ si y solo si $4+4\sqrt{1+4x^2}+1+4x^2\ge 1+4(x+1)^2$, si y solo si $4\sqrt{1+4x^2}\ge 8x$ si y solo si $1+4x^2\ge 4x^2$ lo cual es cierto, entonces la segunda desigualdad es cierta.

Jorge 'Chuck' dijo...

Primero veamos que si $y\leq 1$ entonces es verdad ya que en la segunda desigualdad nos queda un resultado menos o igual a $0$, y como del otro lado está un cuadrado, entonces es no negativo, por lo que es cierto. Ahora supondremos que $y>1$.
Supongamos que para una $k$ real, $x=y+k$ para poder formar entonces el polinomio $P(k)=(y+k+1)^{2}-y(y+1)$ luego, como queremos que esto sea no negativo, entonces significa que $k$ tiene valores menores o iguales a la primera raíz y superiores o iguales a la segunda. Por la fórmula genral de la cuadrática sabemos que esto significa que $P(k)=k^{2}+k(2y+2)+y+1=0$ tiene las raíces en $k=-y-1\pm \sqrt{y^{2}+y}$ entonces el dominio en que se cumple es cuando $-y-1-\sqrt{y^{2}+y}\geq k$ o cuando $-y-1+\sqrt{y^{2}+y}\leq k$. Ahora veamos que los parámetros para los que la segunda se cumple están incluidos en estos:
Sea ahora $Q(k)=(y+k)^{2}-y(y-1)$ entonces análogamente, $Q(k)=k^{2}+k(2y+2)+3y+1$ es mayor o igual a $0$ cuando $-y-1-\sqrt{y^{2}-y}\geq k$ o cuando $-y-1+\sqrt{y^{2}-y}\leq k$ por supuesto que aquí asumimos que $y>1$ pero ya lo sabíamos. Luego, para acabar basta ver que $-y-1-\sqrt{y^{2}-y}\geq -y-1-\sqrt{y^{2}+y}$ y que $-y-1+\sqrt{y^{2}+y}\geq -y-1-\sqrt{y^{2}-y}$ pero en ambos casos queremos demostrar que $\sqrt{y^{2}+y}\geq \sqrt{y^{2}-y}$ y esto es verdad si y sólo si $y^{2}+y\geq y^{2}-y \Leftrightarrow 2y\geq 0$ y esto es verdad por la hipótesis, por lo cual, acabamos.

Georges dijo...

Si $y \leq 1$ es claro que si se cumple lo segundo.

Ahora si $y>1$ tenemos dos casos.

1.-$2y \geq 2x+1$ Si pasa esto despejando de la desigualdad que nos dan a $x^{2}$ entonces tenemos que $x^{2} \geq y^{2}-y+2y-2x-1 \geq y^{2}-y$ Que es lo que queriamos

2.-$2y<2x+1$ entonces $y<x+1/2$ por lo tanto $y(y-1)<(x+1/2)(x-1/2)=x^{2}-1/4<x^{2}$ Fin

Enrique dijo...

Tenemos que cuando $y\leq 1$, $y(y-1)\leq 0\leq x^{2}$ para todo $x$ real. Entonces, podemos asumir que $y>1$. Consideramos dos casos:

Caso 1: $y\geq \frac{2x+1}{2}$. Por hipótesis, $y^{2}+y\leq x^{2}+2x+1 \Rightarrow y^{2}-y\leq x^{2}+2x+1-2y$, y $x^{2}+2x+1-2y\leq x^{2}\Leftrightarrow 2x+1\leq 2y \Leftrightarrow y\geq \frac{2x+1}{2}$, y esto es cierto por lo que asumimos en este caso, por lo que $y(y-1)\leq x^{2}$ en este caso.

Caso 2: $y\leq \frac{2x+1}{2}$. Entonces, $2y\leq 2x+1\Rightarrow 2x\geq 2y-1\Rightarrow x\geq \frac{2y-1}{2}=\frac{y+(y-1)}{2}$. Como al principio asumimos que $y>1$, $y-1$ y $y$ son positivos y podemos usar MG-MA, con lo que $x\geq \frac{y+(y-1)}{2} \geq \sqrt{y(y-1)}$, de donde $x^{2}\geq y(y-1)$ en este caso. $\blacksquare$

Enrique dijo...

Haha publicamos una solución muy parecida en el mismo minuto...

rvaldez dijo...

Leo les dio un muy buen hint, es un problema del Putnam, de hecho estuvo considerado para el nacional pasado.

Enrique, Georges, Flavio y Jorge Chuck ya lo resolvieron bien

Leo dijo...

Pero cuando dije que era un problema de Putnam me refería a uno que estaba puesto hace un buen (de los primeros problemas, uno de un polinomio en dos variables), ¿este también es de Putnam?

rvaldez dijo...

Si es de Putnam, no me acuerdo de que año, pero se lo debe saber al menos Diego

DANIELIMO dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
DANIELIMO dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
DANIELIMO dijo...

a la ecuación $y(y + 1) \leq (x + 1)^2$,
le sacamos raiz cuadrada, le restamos uno y volvemos a elevar al cuadrado, nos queda que $y(y+1) - 2\sqrt{y(y+1)} +1 \leq x^2$ entonces solo falta ver que $y(y-1) \leq y(y+1) - 2\sqrt{y(y+1)} +1$ que es si y solo si $ 0 \leq [\sqrt{y+1}- \sqrt{y}]^2 $ lo cual es cierto

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