lunes, 21 de marzo de 2011

Examen 8

Problema 1. Sea $S$ el conjunto más chico de enteros con la propiedad de que $0\in S$ y si $n \in S$ entonces $3n$ y $3n+1$ también están en $S$. Determina cuántos enteros no negativos menores que 2008 hay en $S$.


Problema 2. Sea $P$ un polinomio de grado $n$ tal que para k=0,1,2,…,n, P(k)=2^k. Determina el valor de $P(n+1)$.


Problema 3. Cuatro circunferencias de radios iguales $\omega , \omega _A, \omega _B$ y $\omega _C$ se dibujan en el interior de un triángulo $ABC$ de tal forma que $\omega _A$ es tangente a $AB$ y $AC$, $\omega _B$ es tangente a $BC$ y $BA$, $\omega _C$ es tangete a $CA$ y $CB$ y $\omega$ es tangente exteriormente a las otras tres circunferencias. Si los lados de $ABC$ miden 13, 14 y 15, determina el radio de $\omega$.


Problema 4. La función $f$ satisface
\[ f(x)+f(2x+y)+5xy=f(3x-y)+2x^2+1\]
Determina $f(10)$.


Problema 5. Para cada permutación a_1, a_2,…, a_{100} de los enteros 1, 2,…, 100, se considera la suma |a_1-a_2|+|a_3-a_4|+…+|a_{99}-a_{100}|. Encuentra la media aritmética de todas estas sumas.


Problema 6. Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. Sea $P$ un punto en el lado $AC$ tal que $AP=2CP$. Si $BP=1$ detérmina el valor máximo del área de $ABC$.

Problema 7. Dado que $2^{2004}$ es un número de 604 dígitos cuyo primer dígito (de la izquierda) es 1, ¿cuántos elementos del conjunto { 2^0, 2^1,…,2^{2003} } tienen primer dígito 4?

Problema 8. Una línea que pasa por un vértice de un triángulo no degenerado corta a éste en dos triángulos semejantes, en los que la razón de semejanza entre los lados correspondientes es $\sqrt{3}$. Determina los ángulos del triángulo original.


Problema 9. Una sucesión de enteros se define como $a_1=a_2=a_3=1$ y para todo entero positivo $n$, $a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n}$. Dado que $a_{28}=6090307$, $a_{29}=11201821$ y $a_{30}=20603361$, encuentra los tres últimos dígitos de a_1+a_2+…+a_{28}.


Problema 10. Sean $a,b,c$ números reales distintos de 0 tales que $a+b+c=0$ y $a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3$. Determina el valor de $a^2+b^2+c^2$.


Problema 11. Para un entero positivo $n$ sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Sea S(n) = d(1)+d(2)+…+d(n). Sea $a$ la cantidad de enteros positivos $n$ menores que 2006 con $S(n)$ impar y $b$ la cantidad de enteros positivos $n$ menores que 2006 con $S(n)$ par. Calcula $|a-b|$.


Problema 12. Sea $a_k= \frac{k^2- \frac{1}{2}}{k^4+ \frac{1}{4}}$. Calcula a_1+a_2+…+a_500.


Problema 13. ¿Para cuántos k=0,1,..,2011 se tiene que “combinaciones de 2011 en $k$” ($2011$ en $k$ ) es un número impar?

Problema 14. ¿Para cuántos enteros positivos $n$ es posible partir el conjunto { n, n+1,…, n+8 } en dos conjuntos $A$ y $B$ tales que el producto de los elementos de $A$ es igual al producto de los elementos de $B$?


Problema 15. Encuentra todos los reales $x$ que satisfagan $\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{x+1} =0$.

44 comentarios:

Adán dijo...

Problema 10. $\frac{5}{6}$

Enrique dijo...

problema 4. -49

Diego627 dijo...

1. 128

DANIELIMO dijo...

15 x=0

Adán dijo...

Corrección: Problema 10. $\frac{6}{5}$

IrvinG dijo...

Tonto LaTeX, falló de nuevo, hay 10 min extra para todos!

Diego627 dijo...

13. 512

jorge garza vargas dijo...

Problema8. Los angulos son 60-90-30

Manuel Alejandro dijo...

5: (101 en 3)/99

Adán dijo...

Problema 6. $\frac{9}{10}$

Enrique dijo...

p.9 744

Jorge 'Chuck' dijo...

1. 128

Manuel Alejandro dijo...

11: 25

Jorge 'Chuck' dijo...

11. 25

Manuel Alejandro dijo...

4: -49

Jorge 'Chuck' dijo...

14. ninguno

Jorge 'Chuck' dijo...

ignoren ese último comentario

DANIELIMO dijo...

14. ninguno

jorge garza vargas dijo...

Problema2. ((2^(n+1))-1)*(-1^(n+1))

Adán dijo...

Está bien la redacción del 3?

Jorge 'Chuck' dijo...

no, siempre si el 14 si es ninguno

IrvinG dijo...

Perdón, en el tres eran circunferencias de radios iguales, se tendrá que anular el problema...

IrvinG dijo...

FIN

Enrique dijo...

con razón no me salia hahaha

Enrique dijo...

vas a poner soluciones?

IrvinG dijo...

Quieren la solución de alguno?

Manuel Alejandro dijo...

jaja, apenas me di cuenta, no puse atención a "radios iguales"

IrvinG dijo...

Es que no estaba, hubo un pequeño error, ese no va a contar

DANIELIMO dijo...

no se vale, yo intente todo el tiempo el 3

Manuel Alejandro dijo...

del 5 quisiera saber si estoy bien, cual era el resultado ¿?

Enrique dijo...

mmm...soluciones del $4,7,9,12$

DANIELIMO dijo...

esta bn escrito el 12?

IrvinG dijo...

4)-49
5) 50(101)/3
7)195
9)834

Enrique dijo...

Iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiirviiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiing...

IrvinG dijo...

Si, está bien escrito, por qué?

Enrique dijo...

gracias....
y el 12? estaba medio feo...

Enrique dijo...

cual era la solucion

IrvinG dijo...

12) 1-1001/(2x500^2+1001)

Manuel Alejandro dijo...

wtf... como llegabas a eso... lo pensaré mañana en clases...

IrvinG dijo...

Si estaba medio difícil ese, pero como se habrán imaginado,el truco es transformar esa expresión en una suma telescópica

Manuel Alejandro dijo...

si, esa era como la idea... pero sólo en eso quedaba, en una idea :S

IrvinG dijo...

Pues se tenían que fijar en que $\frac{k^2-\frac{1}{2}}{k^4+\frac{1}{4}}=\frac{k-\frac{1}{2}}{k^2-k+\frac{1}{2}}+ \frac{k^2+frac{1}{2}}{k^2+k+\frac{1}{2}}$

jorge garza vargas dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
jorge garza vargas dijo...
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