martes, 1 de marzo de 2011

Problema del Día Martes 1ro de Marzo de 2011

Sea $ABC$ un triangulo de perimetro minimo (puede haber mas de uno) circunscrito a una figura convexa sin segmentos en su frontera. Supongamos que los lados $AB$, $BC$ y $CA$ del triangulo hacen contacto con la frontera del convexo en los puntos $M$, $N$ y $P$, respectivamente. Demuestra que $AB+BN=NC+CA=BC+CP=PA+AB=CA+AM=MB+BC$.

2 comentarios:

DANIELIMO dijo...

(No se que tan bien este explicado, pero segun yo si esta bien la solución,jaja)
Trazamos el exirculo del triangulo ABC opuesto al vertice A digamos que es tangente a las rectas AB,BC y CA en Q,R y S. Sabemos que el semipeimetodel triangulo es igual a AQ=AS Supongamos que R distinto de M, notamos entonces que existe una circunferencia tangente a AB y a BC cuyo cento esta más cerca de A que el centro del incirculo (esta circunferencia tambien tendra radio menor, y además la distancia de sus punto de tangencia a A sera menor que la del incirculo) entonces si trazamos una recta l tangente al nuevo circulo y a la figura convexa entoncs podemos formar un nuevo triangulo con los Rayos AB, AB y con la recta l, y este nuevo triangulo sera tangente al convexo ycon perimetro menor, lo cual es una contradicción. Por lotanto R=M, que implica que M es el punto donde es tangente el excirculo y es conocido que cumple que AB+BM=MC+CA=semiperimetro hacemos lo mismo con los otros lados y nos da lo que queriamos.

Jorge 'Chuck' dijo...

Según yo está bien
Veamos que podemos trazar el excírculo del triángulo $ABC$ opuesto a $A$, y supongamso que toca a $AB$, $BC$ y $CA$ en $R$, $S$ y $T$ respectivamente y llamamos al centro del excírculo $O_{A}$, es conocido que el perímetro del triángulo $ABC$ es $2AR$, entonces si podemso ver que todas las circunferencias que cortan al lado $BC$ con ventro en la bicectriz del ángulo $BAC$ y de manera que sean tangentes a los lados $AC$ y $AB$ tienen una tangente paralela a $AB$ que corta al triángulo $ABC$ en $B$' y $C$' en $AB$ y $AC$ respectivamente de manera que $AB>AB$' y $AC>AC$', esto lo podemos ver si queremos por el teorema de Lagrange que dice que en una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ que en este caso serían las intersecciones del círculo con $BC$ de manera que hay una tangente a la función paralela a la recta que se traza de los extremos del intervalo.
Ahora, si $N\neq S$ entonces sabemos que podemos trazar círculos tangentes a $AB$ y $AC$ de manera que sean secantes a $BC$ y que pasen por los vértices del polígono convexo, y por lo mismo, como son de radio menor, y sus centros, sus puntos de tangencia y $A$ forman figuras semejantes pero más pequeñas, y además el perímetro de cualquier triángulo formado con $AB$, $AC$ y una tangente al círculo, tiene perímetro menos al de $ABC$ y ahora veremos que al menos uno cumple las mismas características, siendo una contradicción a la minimalidad del perímetro de $ABC$:
Veamos que si hay un círculo que no contenga a ningún punto de la figura conveza excepto a uno en su frontera, ahora como esta es una figura convexa podemso considerar una gráfica envolvente a esta figura que sea convexa y curva, de manera que sólo comparta con el círculo, este punto de la frontera y de manera qeu tengan como tangente común que pase por ese mismo punto, y como esta gráfica es convexa, no toca a la tangente de nuevo y como envuelve a la figura, tampoco la figura y entonces esta tangente funciona y contradice la minimalidad, por lo que $N=S$ y aplicándolo a los otros dos lados de $ABC$ podemos ver que como los puntos de la figura convexa son los puntos de tangencia de los excírculos, es conocido que las propiedades buscadas se cumplen en estos puntos de tangencia y acabamos.

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