jueves, 17 de marzo de 2011

Problema del Día - 18 de marzo (NUM)

Un número capicua en base $b$ es un entero positivo cuyos dígitos en base $b$ se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; por ejemplo, $2002$ es un $4$-dígitos capicua en base $10$. Nota que $200$ no es capicua en base $10$, pero es un $3$-dígitos capicua en base $9$ ($200 = 242$ en base $9$) y un $3$-dígitos capicua en base $7$ ($200 = 404$ en base 7). Demuestra que existe un entero que es 3-dígitos capicua en base $b$ para al menos $2002$ diferentes valores de $b$.

4 comentarios:

Jorge 'Chuck' dijo...

Por ejemplo, el $21$ es $3$-dígitos capicua base $2$? porque los últimos $3$ dígitos son $101$? O acaso todo el número debe ser $3$-díagitos capicua?

Quique12 dijo...

$21 = 10101_2$ no es $3$-digitos capicua case 2, pero si es $5$-digitos capicua.

Jorge 'Chuck' dijo...

No lo acabé, pero espero alguien me ayude a terminarlo con lo que llevo:
El problema nos pide encontrar un número $n$ de tal forma que en $2002$ bases $b$ distinatas sea un número $3$-dígistos capicua lo que significa que si $n\equiv a(mod b)$, con $0(x+y+z)^{2}$ ya que para la base más grande debe tener $3$ dígitos y al ser capicua, el primer dígito no es cero, mientras que con la base más pequeña no debe llegar a tener cuatro dígitos.
Luego, $x^{3}-x^{2}-2(xy+xz)>(y+z)^{2}$, entonces $x(x^{2}-x-2y-2z)>(y+z)^{2}$ y como $x$ es positivo y el lado derecho es un cuadrado, eso significa que $x(x-1)>2(y+z)$.
Entonces $ab^{2}+cb+a=n$ donde $c$ es algún número que cumpla menor a $b$ y esto sucede para todas las $b$'s. Supongamos que para el valor más grande que toma $b$ el número queda escrito como $\overline{aaa}_{2a}$ y hacemos a $2a$ lo suficientemente grande (después veremos qué tanto). Entonces, vemos que esto es $a(2a)^{2}+2a(a)+a=(a+1)(2a-1)^{2}+(a+2)(2b-1)+(a+1)$ que significa que también es capicuo base $2a-1$.
Luego vi que de hecho se puede hacer un triple capicuo con $\overline{1(b-1)1}_{b}$ sin embargo, el segundo coeficiente decrecía muy rápido, y si llega a ``pasar'' se cero, deja de ser capicuo para el siguiente, entonces subí los coeficientes de los otros dos (los que eran uno) y baje el de enmedio para que siguiera siendo capicuo en el $b-1$ y entonces llegué a ver que cuando menos decrecía el valor de en medio era con los valores que dije arriba, sin embargo no he podido probar que este procedimiento cree capicuos en cada vez más bases, creo que este es todo el avance que logré hacer...

Jorge 'Chuck' dijo...

por ahi arriba escribí $(2b-1)$ y era $(2a-1)$

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