lunes, 20 de mayo de 2013

Problema 21-05-13, Juan. DESIGUALDADES

Para que se me olvide, lo pongo temprano.

1. $n \ge 3$ es entero. $x_1$, ..., $x_n$ son reales positivos. Sucede que $\displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\frac{1}{1+x_i} = 1$. Muestra que

$\displaystyle\sum_{i=1}^n \sqrt{x_i} \ge (n-1) \left(\sum_{i=1}^n \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x_i}} \right)$.

2. $abc=1$ y no son negativos. Muestra que $\displaystyle\frac{1}{a+b+1}+\displaystyle\frac{1}{b+c+1}+\displaystyle\frac{1}{c+a+1} \le 1$.

17 comentarios:

Adán Medrano Martín del Campo dijo...
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Adán Medrano Martín del Campo dijo...
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Adán Medrano Martín del Campo dijo...

El segundo es equivalente a

$$2a+2b+2c\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}$$

pero si el lado derecho lo multiplicamos por $\sqrt[3]{abc}$, tenemos que, como

$$\left(1, 0, 0\right)\prec \left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)$$

terminamos por Miurhead.

Adán Medrano Martín del Campo dijo...

La equivalencia es fácil, basta multiplicar todo por los denominadores, eliminar lo que es igual de los $2$ lados de la desigualdad, y usar que $2abc=2$ una única vez.

Juan dijo...

Yo me sabía otra solución, pero sí, está bien. ¿Ya salió el 1?

David (sirio11) dijo...

El post lo puedes dejar programado para que se publique el día y a la hora que quieras Juan

Juan dijo...

¿Cómo?

Adán Medrano Martín del Campo dijo...
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Adán Medrano Martín del Campo dijo...
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Adán Medrano Martín del Campo dijo...

Mmm, no, solo he probado que

$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\geq n\left(n-1\right)$

y que

$\frac{\sum{\frac{1+x_{i}}{\sqrt{x_{i}}}}}{n}
\geq
\frac{n}{\sum{\frac{\sqrt{x_{i}}}{1+x_{i}}}}
\geq
\frac
{n}{\sqrt{\sum{\frac{x_{i}}{1+x_{i}}}}}
=
\frac{n}{\sqrt{n-1}}$

por $AM-HM$ y por Jensen... pero no creo que sirva mucho, alguna pista?

Juan dijo...

Pues se me ocurren dos pistas. Aquí pongo la pista "facil". Si sigue sin salir, be la pista más fuerte (abajo).

Chebyshev.

Juan dijo...

Más fuerte: en la ecuacion =1, multiplica cada sumando por (raiz de x_i )/(raiz de x_i).

Adán Medrano Martín del Campo dijo...

Cierto... creo que ya

Tenemos que

$\frac{\sum{\frac{1}{1+x_{i}}}}{n}\geq \frac{\sum{\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}}}{n}\cdot \frac{\sum{\frac{\sqrt{x_{i}}}{1+x_{i}}}}{n}$

por lo que, con mi desigualdad de arriba, tenemos que

$\frac{n}{\sum{\frac{\sqrt{x_{i}}}{1+x_{i}}}}\geq \sum{\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}}$ y acabas, quitando

$\sum{\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}}$

de los $2$ lados.

Juan dijo...

No veo cómo acabas. ¿De dónde sale la suma de las raíces, por ejemplo, que está en la desigualdad que quieres demostrar? Te falta algo pero vas bien, según yo. También, tu desigualdad de arriba (del primer comentario) según yo no sirve. A menos que hayas hecho muchas cosas y no las escribiste, te falta.

Adán Medrano Martín del Campo dijo...

Acabas así:

Lo que si es cierto es que

$\frac{\sum{\frac{1+x_{i}}{\sqrt{x_{i}}}}}{n}\geq \frac{n}{\sum{\frac{\sqrt{x_{i}}}{1+x_{i}}}}\geq \sum{\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}}$

de donde

$\sum{\frac{1+x_{i}}{\sqrt{x_{i}}}}\geq n\sum{\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}}$

pero nota que

$\frac{1+x_{i}}{\sqrt{x_{i}}}=\sqrt{x_{i}}+\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}$

por lo que en realidad tenemos que

$\sum{\sqrt{x_{i}}}+\sum{\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}}\geq n\sum{\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}}$

y por lo tanto

$\sum{\sqrt{x_{i}}}\geq \left(n-1\right)\sum{\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}}$

que es lo que te decía arriba.

Juan dijo...

Ah ya, pues sí está bien, es que con "la desigualdad de arriba", pensé que agarrabas el extremo derecho y el izquierdo.

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