jueves, 23 de mayo de 2013

Problema del día 23/05/2013 (kevin)

1. Sea D un punto en el lado BC del triangulo ABC. Sean X,Y los excentos de los triangulos ABD,ACD que son opuestos a el vertice D, respectivamente. Sea E el punto de tangencia del excirculo de ABC opuesto a A con BC. Demuestra que X,Y,D,E estan en un mismo circulo.

2.Sea ABC un triangulo. Sean AP y BQ bisectrices del triangulo con P en BC y Q en AC. El angulo BAC mide 60° y AB+BP=AQ+QB. Cuales son los posibles valores del angulo ABC?

8 comentarios:

Juan dijo...

1. EY^2+EX^2=DY^2+DX^2 por Pitágoras

nivek dijo...

para que es tu comentario juan?

Juan dijo...

es la solucion del 1

nivek dijo...

Como ves eso?

Juan dijo...

ps facil. como XDY es 90 basta con que XEY sea 90, o sea que XE^2+YE^2=DX^2+DY^2. o sea basta con que (DY'^2-EY'^2)=(EX'^2-DX'^2) con X' y Y' pies de altura de X, Y a BC. Pero DY'-EY' = EX'-DX' o sea basta ver que DY'+EY'=DX'+EX' o sea que EY'=DX'. Pero haces las cuentitas usando sustitución de Rabi y sale que quieres (con a=BC) que a=DC+DB y eso es cierto entonces acabas.

nivek dijo...

si, de hecho mas o menos asi es mi solucion, solo que como solo escribiste EY^2+EX^2=DY^2+DX^2 no vi como llegaste a eso

Adán Medrano Martín del Campo dijo...

Mmm, a ver, el primero sale con lema Pitágoras, lema de perpendicularidad, y que $AB+BE=AC+CE$, más o menos así.

Si $X_{1}$ y $Y_{1}$ son los pies de las perpendiculares desde $X$ y $Y$ con $BC$, respectivamente, entonces

$XE^{2}-XD^{2}=X_{1}E^{2}-X_{1}D^{2}$
$YD^{2}-YE^{2}=Y_{1}D^{2}-Y_{1}E^{2}$

luego, sean

$s_{x}=\frac{AB+BD+DA}{2}$
$s_{y}=\frac{AC+CD+DA}{2}$

y tenemos que

$X_{1}D=s_{x}$
$Y_{1}D=s_{y}$

y luego, tenemos que $|2s_{y}-2s_{x}|=2DE$ y con eso, vemos que

$\left(s_{x}+DE\right)^{2}-s_{x}^{2}=s_{y}^{2}-\left(s_{y}-DE\right)^{2}$

y de ahí vemos que eso es equivalente a nuestras $2$ primeras expresiones arriba. Con eso vemos que

$XE^{2}+YE^{2}=XD^{2}+YD^{2}=Z$

y luego, es claro que $\angle XDY=90^{\circ}$ pues $XD$ y $YD$ bisecan a $\angle ADB$ y $\angle ADC$ respectivamente, y entonces

$Z=XY^{2}$

y por ende $\angle XEY=90^{\circ}$, por lo que $XYED$ es cíclico como queríamos.

(Puras cuentitas ¬¬)

Adán Medrano Martín del Campo dijo...

Para el segundo, vamos a hacer $2$ construcciones, y demostrar que un $2$ puntos que vamos a construir son el mismo, y concluir que existe una única medida de $\angle ABC$, pero necesito encontrar una forma de decirlo sin hacer tantos comentarios...

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