domingo, 19 de mayo de 2013

Problema del Día 19-05-13 (Xavi)

A cada punto del plano se le asigna un solo color de siete distintos. ¿Existirá necesariamente un trapecio isósceles cuyos vértices tengan todos el mismo color?

6 comentarios:

Juan dijo...

¿Un triángulo isósceles cuenta como trapecio isósceles?

Xavi dijo...

No. El trapecio isósceles debe tener como vértices a cuatro puntos distintos.

Juan dijo...

¿Qué pasa si tengo cuatro puntos colineales, ABCD, en ese orden, tal que AB=CD y son del mismo color? ¿Se valen trapecios isósceles así (colineales)?

Xavi dijo...

No. No puede tener tres o mas vertices colineales.

Diego Alonso Roque Montoya dijo...

Demostraré que si hay $C$ colores entonces igual existe tal trapecio. Sea $N=C+1$ y $M=14N+1$. Consideremos los puntos $(x,y)$ con $x$ entero entre $1$ y $N$ y y entero entre $1$ y $M$.

Como $N \geq C+1$, entonces hay dos del mismo color en cada fila (osea, en cada cto de puntos de la misma coordenada y). Entonces cada fila tiene un punto $T_i$ que es punto medio de dos puntos del mismo color de los que decimos y la coordenada $x$ es un entero entre $3$ y $2N-1$ entre dos.

Pero hay menos de $14N=M$ parejas de color (de los puntos que son pto medio), coordenada x viable. Entonces hay dos puntos A,B de diferentes filas tal que comparten coordenada x y A es pto medio de U,V entre los que decimos y de cierto color k, y B es pto medio de S,T de entre los que decimos y del mismo color k. A y B estan en diferentes filas, entonces U,V,R,S no son colineales. Como comparten mediatriz (AB), entonces UVRS es trapecio isoceles y todos del mismo color.

Estoy bien?

Diego Alonso Roque Montoya dijo...

De hecho, si hacemos $M=C\binom{N}{2}+1$, entonces para cada fila existe una pareja $(U,V)$ de cierto color y son a lo más $\binom{N}{2}$ de parejas de coordenadas x, por lo tanto existe una pareja de filas tal que en cada una existe una pareja de puntos todos del mismo color y con la misma pareja de coordenadas x. Es decir, existe un rectangulo, no solo un trapecio isoceles, del mismo color los vertices.

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