miércoles, 15 de mayo de 2013

Problema del dia 16-05-2013 (Kevin)


Dos circulos \Omega y \omega son tangentes en P, con \omega en el interior de \Omega. La cuerda AB de \Omega es tangente a \omega en C; PC corta a \Omega otra vez en Q. Las cuerdas QR y QS de \Omega son tangentes a \omega . Sean I,X, y Y los incentros de los triangulos APB, ARB, y ASB, respectivamente. Demuestra que \angle PXI+\angle PYI=90^{\circ }.

4 comentarios:

Juan dijo...

Ps vemos que Q es el punto medio de AB, y que hay un circulo con centro Q que pasa por I, X, Y, le llamamos $\Gamma$, ¿no? y ps si invertimos a $\omega$ (teniendo en cuenta que AB y $\Omega$ son inversos) por $\Gamma$ ps sale que el inverso pasará por Q y será tangente a AB y a $\Omega$, entonces es $\omega$, entonces $\Gamma$ y $\omega$ son ortogonales, ¿no?

y ps ahi vemos que X y Y son los puntos de interseccion de $\Gamma$ y $\omega$. luego si extendemos PX y PY para que intersecten a $\Gamma$ una vez mas en X' y Y' vemos que es suficiente con ver que X'Y' es un diametro de $\Gamma$.

Luego para ver eso basta con ver que XPY mide 90º-XY/2 (el arco en $\Gamma$) o sea, con O el centro de $\omega$, que XOY+XY=180º. o sea que XOY+XO'Y=180 con O'el centro de $\omega$ pero eso es cierto por la ortogonalidad entonces ps ya!

Adán Medrano Martín del Campo dijo...

Muy bonito problema

Primero, es conocido que $Q$ es punto medio del arco $AB$ pues $\Omega$ y $\omega$ se encuentran bajo una homotecia desde $P$.

Luego, sean $T__{R}$ y $T_{S}$ los puntos de tangencia de $QR$ y $QS$ son $\omega$, respectivamente.

Entonces, tenemos por potencia que

$$QT_{R}^{2}=QC\cdot QP=QA^{2}$$

y esto nos dice que

$$QA=QB=QT_{R}=QT_{S}$$.

Ahora, sabemos que $I, X, Y$ se encuentran respectivamente sobre $PQ$, $RQ$, y $SQ$, pero sabemos que estos puntos también se encuentran sobre la circunferencia con centro en $Q$ y radio $QA$, por lo que

$$X=T_{R}$$
$$Y=T_{S}$$

y ahora queremos que $\angle PT_{R}I+\angle PT_{S}I=90^{\circ}$.

Juan dijo...

jajajajajaja te gane por poquito

Adán Medrano Martín del Campo dijo...

Ahora, tenemos que, $QT_{R}T_{S}$ es isósceles, por lo que si

$$\angle T_{R}QT_{S}=2\alpha$$

entonces

$$\angle T_{R}CT_{S}=90+\alpha$$

por lo que

$$\angle T_{R}PT_{S}=90-\alpha$$

pero también podemos ver que

$$\angle T_{R}IT_{S}=180-\alpha$$

pues $T_{R}QI$ y $T_{S}QI$ son isósceles. Con esto finalmente concluimos que

$$\angle T_{R}CT_{S}-\angle T_{R}PT_{S}=90^{\circ}=\angle PXI+\angle PYI$$

como queríamos demostrar.

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