Problemas de Jun 23

1. Prueba que para toda $n$ existe un conjunto con $n$ elementos de manera que si tomas dos elementos del conjunto, $a$ y $b$, entonces $a-b$ divide a $a$ y a $b$ pero no a otro elemento del conjunto.

2. Sean $n$ y $a$ enteros fijos. Definimos al conjunto $S$ de la siguiente manera. $n \in S$ y para cada elemento $s$ de $S$ sabemos que $2s$ y $2s-1$ tambien estan en el conjunto. ¿Será cierto que para cada par de $n$ y $a$ existe un entero de la forma $k^a$ en $S$?

3. Sean $AH_1, BH_2, CH_3$ las alturas de un triangulo acutangulo $ABC$. El incirculo toca a los lados $BC, AC$ y $AB$ en $T_1, T_2$ y $T_3$ respectivamente. Considera las lineas simetricas a  $H_1H_2, H_2H_3$ y a $ H_3H_1$ con respecto a $T_1T_2, T_2T_3$ y a $T_3T_1$ respectivamente. Muestra que el triangulo formado por estas nuevas rectas esta inscrito en el incirculo de $ABC$.