martes, 2 de junio de 2015

TST Romanian

Sea $D$ el punto medio de el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ con $AB\not=AC$ y sea $E$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$. Si $P$ es la intersección de la mediatriz del segmento $DE$ con la perpendicular desde $D$ a la bisectriz del ángulo $\angle BAC$, prueba que $P$ está en la ciercunferencia de los nueve puntos del triángulo $ABC$.

7 comentarios:

Ariel dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Ariel dijo...

Supones sin pérdida de generalidad que $AB < AC$ y llamas $X$ y $Y$ a las intersecciones de la perpendicular desde $D$ hacia la bisectriz de $\angle BAC$. Claramente tienes $AX = AY$. Si $\angle B = 2\beta$ y $\angle C = 2\gamma$ sacas que $\angle DPE = 180 - 2\beta + 2\gamma$. Si $F$ es el punto medio de $AC$ entonces tienes $\angle AFE = 2\angle FCD = 4\gamma$ y $\angle DFC = \angle BAC = 180 - 2\beta - 2\gamma$, entonces $\angle EFD = 2\beta - 2\gamma$ y acabaste.

Ariel dijo...

$X$ y $Y$ son intersecciones con $AB$ y $AC$

Antonio Lopez Guzman dijo...

sea X la interseccion de DP y la bisectriz de A, AEXD es ciclico , sea <EAX=<EDX=a, entonces <EPD=180-2a, sea M el punto media de BH donde H es el ortoentro, sea <BAE=b y <ABH=c, primero veo que 2a+2b+c=90, luego <MEH=<MHE=b+c, vep que MD es paralela a CH entonces <EDM=b, para completar 180º en el triangulo EMD el angulo EMD es 2a, entonces EMDP es ciclico y ya acabamos.

nivek dijo...

Sea F el punto medio de AC. Como sabemos que E,D y F estan en la circunferencia P esta si y solo sí $\angle EFD = 2\angle EDP$ y con simples cuentas de angulos usando que FE=FC y FD $||$ a AB vemos que es cierto.

Lalo dijo...

Muy bien a todos, solo un par de comentarios, ser cuidadosos en la escritura siempre es bueno, lo de argumentar "... resultado y ya acabamos" puede ser riesgoso para perder puntos.

También lo de "simples cuentas ...".

Pero sus soluciones están bien. :)

Lalo dijo...

Muy bien a todos, solo un par de comentarios, ser cuidadosos en la escritura siempre es bueno, lo de argumentar "... resultado y ya acabamos" puede ser riesgoso para perder puntos.

También lo de "simples cuentas ...".

Pero sus soluciones están bien. :)

Publicar un comentario