sábado, 20 de junio de 2015

Problemas del Jueves

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$. Las perpendiculares a $BI$ y $CI$ por $I$ cortan a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente. Sea $D$ el punto donde el incirculo de $ABC$ toca a $BC$ y $P$ el pie de la perpendicular de $I$ a $EF$. Sea $Q$ la intersección de $DE$ con $CP$. Muestra que $AQ$ es paralela a $BC$.

2. Se eligen diez enteros del conjunto $\{1, 2, 3, \dots 2009\}$. Muestra que existen tres distintos $a, b, c$ tales que $\text{mcd}(a, b)$ divide a $c$.

3 comentarios:

Juan dijo...

1. cuentas

2. mi solución esta bien horrible, consiste en encontrar dos numeros con gcd grande, ver que su razón es 14/15, luego fijarse en los mcds de esos dos numeros en específico con otros números, y hacer casitos al final con primos chicos para acabar

uso algo parecido al lema siguiente: "si n+1 números son menores o iguales a 2n, uno dividirá a otro".

Juan dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Juan dijo...

con 13 numeros, no salen cuentas feas, así que aquí pongo mi solución en ese caso.

Notemos que si tomo todos los números del estilo $mcd(a,b)$, tengo 13*12/2 números, y si uno divide a otro, digamos $(a,b) | (c,d)$ o $(a,b) | (a,c)$ tengo $(a,b) | c$ y acabo. Entonces ninguno divide a ningún otro, y por el lema de arriba, hay alguno es mayor o igual a 13*12-2>150.

Digamos $(a,b)=g>150$, y $a=ga_1,b=gb_1$ con $(a_1,b_1)=1$.

Si alguno de mis 13 numeros $c$ es coprimo a $a_1$, entonces $(c,a)=(c,g) | g | b$ y acabo. Entonces ninguno es coprimo con $a_1$ ni con $b_1$. Si $a_1$ y $b_1$ ambos tuvieran dos primos, entonces uno sería mayor o igual a $2*7$ y $3*5$. Entonces Digamos $a_1 \ge 15$.

Entonces $a =ga \ge 15*150 = 2250 > 2009$, contradiccion

Entonces SPDG $a_1$ solo tiene un primo, y todos los numeros except quizá $b$ son divisibles por ese primo. Si divido TODO por ese primo excepto $b$, sale que tengo 13-1 numeros menores o iguales a 2009/2. Repitiendo el argumento, acabas fácil

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