lunes, 8 de junio de 2015

Problemas del Sabado

Una disculpa por no haber puesto problema el dia sabado, aqui les van dos problemas de combinatoria.

1.- Determina todos los enteros positivos $n$ tales que es posible construir un cubo de lado $n$ usando piezas de la siguiente forma:




2.- Para $n$ un entero positivo impar, los cuadros de un tablero de ajedrez de $nxn$ se colorean alternadamente de blanco y negro, con las cuatro esquinas coloreadas negras.Un trimino es una pieza en forma de $L$ formada por tres cuadritos conectados. ¿Para cuales enteros $n$ es posible cubrir todos los cuadritos negros con triminos? Cuando sea posible,¿cual es el minimo numero de triminos que se necesitan?

5 comentarios:

Juan dijo...

Si 6 no divide a $n$, como cada pieza tiene $12$ cuadros, pierdo. Si 4 no divide a $n$ pero 2 sí, entonces coloreo de negro a $(x,y,z)$ si $x,y,z$ son pares y de blanco de lo contrario. Claramente cada escalerita tiene 3 o 1 cuadritos negros. Además, como $n^3/12$ es par, el número de escaleritas que uso es par. Entonces en total el número de cuadritos negros que uso es par, pero es claro que esto es falso, pues es $(n/2)^3$. Así, si $n$ funciona entonces $ 12 | n $.

La configuración para $12k \times 12k$ es simplemente usar bloquecitos de $2 \times 3 \times 4$.

Pablo M H dijo...

Ah, mi solución es la misma que la de Juan, bueno sólo que yo colorié las que tienen coordenadas impares.

Pablo M H dijo...

En el segundo le puede para todo $n \ge 7$ construyes los ejemplos para $n = 7$ y $n = 9$ con 16 y 25 triminos respectivamente.
Luego construyes inductiva mente los demás, a partir de $n$ construyes $n + 4$ pegando bloques de $ 2x(n+2)$ en las orillas.
Para demostrar que es el mínimo, se consideran los cuadros cuyas coordenadas tienen ambas entradas impares. Cada triminos cubre a los mas a uno de esos cuadros, y hay $m^2$ de esos cuadros (con $n=2m-1$)

Pablo M H dijo...

Ah, para ver que $m \ge 4$ basta ver que la cantidad de cuadros en algún trimino es mayor que la cantidad de cuadros, es decir, $ 3m^2 > (2m-1)^2$

Pablo M H dijo...

* en el caso que m sea menor o igual a 3

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