lunes, 17 de junio de 2013

Problema del Día (Adán)

Determina todas las ternas de reales $\left(x, y, z\right)$ tales que

\[2x^{3}+1=3zx\]
\[2y^{3}+1=3xy\]
\[2z^{3}+1=3yz\]

2 comentarios:

Diego Alonso Roque Montoya dijo...

Si x=0 entonces $1=0$ en la primea ecuación. Entonces $xyz$ es diferente a 0.Sea $f(x)=\frac{2x^3+1}{3x}$. Entonces tenemos que $f(f(f(x)))=x$.
Tomando $f(x)-x=\frac{(x-1)^2(2x-1)}{3x}$ entonces tenemos que si $x\geq 0$ entonces $f(x)\geq x$ con igualdad solo en $x=1$. Entonces tenemos que $x=f(f(f(x)))\geq x$ por lo tanto la igualdad se cumple y $x=y=z=1$.
Por otro lado, si $x\leq 0$ tenemos que $x\geq \frac{-1}{2}$ si y solo si $f(x)\leq \frac{-1}{2}$. Como se esta alternando, entonces el unico x viable es $\frac{-1}{2}$.
Entonces $x=y=z$ y es 1 o -1/2

Juan dijo...

Misma solución.

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