lunes, 24 de junio de 2013
Problema del Día (Adán)
Los círculos $\Omega_{1}$ y $\Omega_{2}$ se cortan en $P$ y $K$. Sea $XY$ la tangente común a $\Omega_{1}$ y $\Omega_{2}$ más cercana a $P$ de modo que $X$ está sobre $\Omega_{1}$ y $Y$ está sobre $\Omega_{2}$. La recta $XP$ corta de nuevo a $\Omega_{2}$ en $C$ y la recta $YP$ corta de nuevo a $\Omega_{1}$ en $B$. Sea $A$ la intersección de $BX$ con $CY$. Sea $Q$ la segunda intersección de las circunferencias circunscritas a $ABC$ y $AXY$. Muestra que \[\angle QXA=\angle QKP.\]
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2 comentarios:
El ejercicio se resuelve utilizando el método de la inversión geométrica.
PASO $1$: Uno se fija que $AXKC$ y $AYKB$ son cíclicos. Ésto es fácil pues $XYA=YPC=XPB=YAX$ por lo que $XAY$ es isósceles y $XKC=XKP+PKC=YXP+PYA=$$PYA+YPC-YCP=$$YPC+YCP+YPC-YCP$$=2YPC=2XYA=180-XAC$ y lo análogo.
PASO $2$: Invertir con centro en $A$.
Se obtiene un triángulo isósceles $AXY$ con $B$ y $C$ sobre $AX$ y $AY$, respectivamente, y $K=BY \cap XC$ , de tal manera que los circuncírculos de $KCY$ y $KXB$ son tangentes al de $AXY$. $Q=BC \cap XY$ y se desea demostrar que $APK+AQK=AQX$, que se reduce a $APK=KQX$
PASO $3$: Veré que el circuncírculo de $KXY$ es tangente a AY y AX. Como el circuncírculo de $KCY$ es tangente al de $AYX$, si nos tomamos un punto $Z$ sobre su tangente común veremos que $CKY=CYZ=AXY$ por lo que $CKY=BKX=AYX=AXY$. De ahí es claro que el circuncírculo de $KXY$ es tangente a $AX$ y $AY$.
PASO $4$: Encontraré el ángulo $KQX$. En el triángulo $KXY$, las intersecciones de los lados con las tangentes al circuncírculo del vértice opuesto son colineales. De ahí se obtiene que $DK$ es tangente al circuncírculo de $KYX$. De ahí $KQX=KYX-KXY$. Por ende bastará con demostrar $APK=KYX-KXY$.
PASO $5$. Mostraré que $KCYP$ y $KBPX$ son cíclicos. Vemos que $CPY=APY-APC=ABY-AXC=BKX=CKY$. Por ende $CKPY$ es cíclico y análogamente $BKPX$ también lo es.
Para terminar, vemos que $APK=APC-KPC=AXC-BYA=$$AXY-CXY-AYX+BYX=$$KYX-KXY$, por lo que acabamos. $\blacksquare$
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