Sea $I$ el incentro de $ABC$. Sean $X$, $Y$, y $Z$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita a $ABC$ con los lados $BC$, $CA$, y $AB$ respectivamente. La recta paralela a $XY$ por $C$ corta a las rectas $XZ$ y $YZ$ en $M$ y $N$ respectivamente. Muestra que $\angle MIN<90^{\circ}$.
Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC=90^{\circ}$ y sea $AD$ la altura desde $A$ hasta $BC$. La recta que une a los incentros de $ABD$ y $ACD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $X$ y $Y$ respectivamente. Muestra que $\left(ABC\right)\geq 2\left(AXY\right)$.
Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC=90^{\circ}$ y sea $AD$ la altura desde $A$ hasta $BC$. La recta que une a los incentros de $ABD$ y $ACD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $X$ y $Y$ respectivamente. Muestra que $\left(ABC\right)\geq 2\left(AXY\right)$.
3 comentarios:
1. Basta ver CM*CN<CI^2. Para ver eso es suficiete ver CMX y CNY son semejantes. (o CMY y CNX)
Incentro de ADC es I, incentro de ADB es G. Pues con rotohomotecia centro D ángulo 45º radio DI/DC y centro D radio 90º radio DG/DI vemos que ángulo XYA es 45º. Luego AX=AY y basta ver $2AX^2 \le AB*AC$. Pero se ve que AXY y ADX son similares, reflejados por AX entonces AY=AD por lo que AD=ACcosx=ABcosy con x=DAC y y=DAB. Luego basta ver que cosx*cosy $\le \frac{1}{2}$, pero x+y=90º así que cosx*cosy=cosx*senx=sen(2x)/2 $\le \frac{1}{2}$ obviamente, así que acabamos.
La igualdad se da sólo si es un isósceles.
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