4 de Junio

1. Encuentra todas las funciones $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que

$$f(x + y^2) = f(x) + \left|yf(y)\right|$$

Para cualesquiera $x, y \in \mathbb{R}$.

2. Encuentra todas las funciones $f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que

$$f(m)^2 + f(n) \mid (m^2 + n)^2$$

Para cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$.

3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Omega$. Sean $B_0$ y $C_0$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente, $G$ el gravicentro de $ABC$ y $D$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$. La circunferencia $\omega$ pasa por $B_0$ y $C_0$ y es tangente a $\Omega$ en $X$. Muestra que $D, G, X$ son colineales.