domingo, 14 de junio de 2015

Nacional Canada 2015

Van dos problemas del examen del nacional de Canadá de este año. Les dejo el enlace de AoPS por si también quieren poner su solución ahí o por si quieren ver los comentarios que la gente ha dejado.

1. Sea $p$ un número primo para el cual $\frac{p-1}{2}$ también es primo y sean $a$, $b$, y $c$ enteros no divisibles entre $p$. Muestra que hay a lo más $1+\sqrt{2p}$ enteros positivos $n$ tales que $n\leq p-1$ y $p$ divide a $a^n+b^n+c^n$.

http://artofproblemsolving.com/community/c6h1081588p4756514

2. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $\omega$ una circunferencia con centro en la altura desde $A$ en el triángulo $ABC$ y que pasa por $A$ y los puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. Supongamos que $BP\cdot CQ = AP\cdot AQ$.

Muestra que $\omega$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BOC$.

http://artofproblemsolving.com/community/c6h1081584p4756480

4 comentarios:

nivek dijo...

En el problema 1 es a lo más y no al menos

nivek dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Juan dijo...

la del 1 mi solucion esta en aops

la del 2 es pura talacha mi solucion, cuentras con segmentos

Leo dijo...

Gracias por la corrección Kevin. Ya la hice en la entrada.

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