sábado, 20 de junio de 2015

Problema de algebra

Sea $a_1,a_2,...$ una secuencia infinita de numeros reales, para la cual existe un numero real $c$ con  $0\leq a_i\leq c$ para toda $i$,  tal que $ |a_i-a_j|\geq \frac{1}{i+j}$  para todo $i,j$ con $i$ distinto de $j$.Prueba que $c\geq1$

3 comentarios:

Juan dijo...
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Juan dijo...
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Juan dijo...

esta muy bonito

velo

Tomemos cualquier $n$ y supongamos $\sigma$ es permutación de $1,..,n$ tal que

$a_{\sigma(n)} \ge ... \ge a_{\sigma(1)}$.

Entonces

$c \ge a_n-a_1 = \sum_{i=n}^2 (a_{\sigma(i)}-a_{\sigma(i-1)})$

$\ge \frac{1}{\sigma(n)+\sigma(n-1)} + \ldots + \frac{1}{\sigma(2)+\sigma(1)}$

$\ge \frac{n^2}{2(1+...+n)-\sigma(1)-\sigma(n)}$

$\textgreater \frac{n^2}{ n^2-3n }$.

donde al penúltima desigualdad se debe a media aritmética media cuadrática.

Pero la función $\frac{n^2}{n-3n}$ tiende a $1$, entonces $c$ es mayor o igual a algo que tiende a $1$, entonces $c\ge 1$.

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