Considera el sistema $x+y=z+u$ and $2xy=zu$ Encuentra el mayor valor de la constante $m$ tal que $m \leq x/y$ para cualquier solucion entera $(x,y,z,u)$ del sistema,con $x$ mayor que $y$.
sábado, 13 de junio de 2015
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
5 comentarios:
¿x, y, z y u son reales?
Perdon no habia leido lo de enteros
$m = 0$. La igualdad ocurre por ejemplo con $(0, -1, 0, -1)$.
Si tenemos una solucion en racionales $(a, b, c, d)$ entonces $(na, nb, nc, nd)$ también es solución para cualquier $n$, entonces podemos elegir un $n$ entero tal que $(na, nb, nc, nd)$ sean todos enteros, además esto deja $x/y$ constante, asi que puedo convertir la condición en racionales.
Si $y > 0$ entonces $x > y$ implica $x/y > 1 > 0$.
Ahora, si $y < 0$ y alguna solución cumple $x/y < 0$ entonces $x > 0$. Multiplicando esa solución por $-1/y > 0$ podemos suponer $y = -1$. Si alguno de los otros es $0$ entonces $x$ es 0 por $2xy = zu$, y entonces $x/y = 0$, entonces ninguno es 0. De $2xy = zu$ sacamos $u = \frac{-2x}{z}$, y sustituyendo en $x + y = z + u$ obtenemos $z^2 - z(x - 1) - 2x = 0$. Esta cuadrática tiene discriminante $(x + 1)^2 + 2x$ que debe ser un cuadrado, y poniendo $x = \frac{p}{q}$ con $p, q$ naturales tienes $(p + 1)^2 < (p+1)^2 + 2p < (p+2)^2$, entonces no hay solucion con $x/y < 0$.
son positivos, Ari
Bueno, muestro $m=3+2\sqrt{2}$. Sea $k=x+y=z+u$ y considero que $x,z$ se mueven en el intervalo $[k/2,k)$ y $y,u$ se mueven para que la igualdad siga siendo cierta. Si $z$ se aproxima a $k$, entonces $zu$ decrece y por lo tanto $xy$ decrece, por lo tanto $x$ incrementa y $y$ decrece, y así $x/y$ crece. Por lo tanto, basta ver que si $z=k/2$ entonces la desigualdad es cierta, pero esto es muy fácil.
Ahora muestro que hay infinitas soluciones con $z/u$ tan cerca a $1$ como quiera, y entonces $x/y \rightarrow m$. Si tomo $z+u=k$ y $z=u+1$, se reduce, usando la fórmula cuadrática general, a que quiero que $(k^2+1)/2$ sea cuadrado.
Es decir, quiero infinitas soluciones a $k^2-2m^2=-1$, pero por Pell sí existen infinitas, pues $(k,m)=(7,5)$ es una solución y $(k,m)=(3,2)$ es una solución a $k^2-2m^2=1$.
Publicar un comentario