lunes, 8 de junio de 2015

Problemas del Sabado

Una disculpa por no haber puesto problema el dia sabado, aqui les van dos problemas de combinatoria.

1.- Determina todos los enteros positivos $n$ tales que es posible construir un cubo de lado $n$ usando piezas de la siguiente forma:




2.- Para $n$ un entero positivo impar, los cuadros de un tablero de ajedrez de $nxn$ se colorean alternadamente de blanco y negro, con las cuatro esquinas coloreadas negras.Un trimino es una pieza en forma de $L$ formada por tres cuadritos conectados. ¿Para cuales enteros $n$ es posible cubrir todos los cuadritos negros con triminos? Cuando sea posible,¿cual es el minimo numero de triminos que se necesitan?

5 comentarios:

Juan dijo...

Si 6 no divide a $n$, como cada pieza tiene $12$ cuadros, pierdo. Si 4 no divide a $n$ pero 2 sí, entonces coloreo de negro a $(x,y,z)$ si $x,y,z$ son pares y de blanco de lo contrario. Claramente cada escalerita tiene 3 o 1 cuadritos negros. Además, como $n^3/12$ es par, el número de escaleritas que uso es par. Entonces en total el número de cuadritos negros que uso es par, pero es claro que esto es falso, pues es $(n/2)^3$. Así, si $n$ funciona entonces $ 12 | n $.

La configuración para $12k \times 12k$ es simplemente usar bloquecitos de $2 \times 3 \times 4$.

Unknown dijo...

Ah, mi solución es la misma que la de Juan, bueno sólo que yo colorié las que tienen coordenadas impares.

Unknown dijo...

En el segundo le puede para todo $n \ge 7$ construyes los ejemplos para $n = 7$ y $n = 9$ con 16 y 25 triminos respectivamente.
Luego construyes inductiva mente los demás, a partir de $n$ construyes $n + 4$ pegando bloques de $ 2x(n+2)$ en las orillas.
Para demostrar que es el mínimo, se consideran los cuadros cuyas coordenadas tienen ambas entradas impares. Cada triminos cubre a los mas a uno de esos cuadros, y hay $m^2$ de esos cuadros (con $n=2m-1$)

Unknown dijo...

Ah, para ver que $m \ge 4$ basta ver que la cantidad de cuadros en algún trimino es mayor que la cantidad de cuadros, es decir, $ 3m^2 > (2m-1)^2$

Unknown dijo...

* en el caso que m sea menor o igual a 3

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