lunes, 1 de junio de 2015

Problemas del 1 de junio

1. Sea $ABC$ un triangulo y $P$ y $Q$ puntos isogonales. Sea $O_P$ el circumcentro del triángulo definido por las mediatrices de $PA, PB, PC$. Defino $O_Q$ similarmente. Muestra:
$PQ \parallel O_PO_Q$

2. (**) Tenemos una gráfica dirigida con $n$ vértices numerados y hay aristas $ 1 \rightarrow 2 \rightarrow ... \rightarrow n$. Queremos añadir $x_n$ aristas tal que cada arista $i \rightarrow j$ cumple $i<j$, y además para cualquier $i<j$ podemos llegar de $i$ a $j$ con $3$ aristas. Muestra que es posible elegir

$x_n=\mathcal{O}\left( n \cdot log(log(n))\right)$.

3. Se tienen naturales $a<b<2a$. En una cuadrícula, se colocan fichas en algunos cuadritos, de tal manera que en todo cuadro de $a \times b$ ó $b \times a$ hay alguna ficha. Encuentre el máximo número real $\lambda$ tal que para todo $n$ natural, podemos encontrar un cuadro de $n \times n$ con al menos $\lambda \cdot n^2$ fichas.

6 comentarios:

Lalo dijo...

Juan por favor define que es $\mathcal{O}(f(n)}$.

Juan dijo...

Existe $C$ una constante universal tal que $ x_n < C(n \cdot log(log(n)))$

Ariel dijo...
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Ariel dijo...
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Ariel dijo...
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Ariel dijo...

Sean $X_A, X_B, X_C$ las reflexiones de $P$ sobre $BC, CA$ y $AB$ respectivamente, Sean $Q_A$ la intersección de las mediatrices de $BQ$ y $CQ$, $Q_B$ de las mediatrices de $CQ$ y $AQ$, y $Q_C$ de las mediatrices de $AQ$ y $BQ$. Observemos que $AQ, BQ$ y $CQ$ son perpendiculares $Q_AQ_B$, $Q_BQ_C$ y $Q_CQ_A$ respectivamente. Por otro lado no es dificil probar que $AQ, BQ$ y $CQ$ son perpendiculares a $X_BX_C$, $X_CX_A$ y $X_AX_B$ respectivamente, entonces hay una homotecia $\Omega$ que lleva $X_AX_BX_C$ a $Q_AQ_BQ_C$.

La imagen $P_1$ de $P$ bajo $\Omega$ cumple que $P_1Q_A$, $P_1Q_B$ y $P_1Q_C$ son perpendiculares a $BC, CA$ y $AB$ respectivamente, pero además, $Q_AB = Q_AC$, $Q_BC = Q_BA$ y $Q_CA = Q_CB$, entonces estas lineas son las mediatrices de $BC$, $CA$ y $AB$, y entonces $P_1$ es $O$, el circuncentro de $ABC$.

Ahora, por otro lado, es un hecho conocido que $Q$ es el circuncentro de $X_AX_BX_C$, entonces $\Omega$ lleva $Q$ a $O_Q$. Estas dos observaciones implican que $PQ \parallel OO_Q$, entonces $O_Q$ está sobre la paralela a $PQ$ por $O$. Análogamente $O_P$ está en esa recta y acabamos.

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