2. Determina si los enteros positivos se pueden partir en 12 subconjuntos disjuntos tales que, para cada k = 1, 2,… los números k , 2k , …, 12k pertenecen a distintos subconjuntos.
viernes, 19 de junio de 2015
Problemas del miércoles
1. ¿Será que exista un número real positivo tal que al elevarse a cualquier potencia entera positiva se obtenga siempre un número con parte fraccionaria estrictamente entre .4 y .6?
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3 comentarios:
Para cualquier $n$ natural, sea
$f(n)=11v_{11}(n)+7v_7(n)+9v_5(n)+4v_3(n)+v_2(n)$.
Nótese que $f(nm)=f(n)+f(m)$. Ponemos a $n$ en un conjunto de acuerdo a la congruencia módulo $12$ de $f(n)$.
Si no cumpliera, entonces para algún $k$ y algunos $1 \le a \neq b \le 12$, tengo que $ka$ y $kb$ son del mismo color. Entonces $f(ka) \equiv f(kb) (\bmod 12)$ y así, por la fórmula, $f(a) \equiv f(b) (\bmod 12)$. Sin embargo,
$f(1)=0$
$f(2)=1$
$f(3)=4$
$f(4)=2$
$f(5)=9$
$f(6)=5$
$f(7)=7$
$f(8)=3$
$f(9)=8$
$f(10)=10$
$f(11)=11$
y vemos que $f(a) \neq f(b) (\bmod 12)$ si $1 \le a \neq b \le 12$. Entonces, SÍ es posible, con esta construccion.
Ah, olvidé decir $f(12)=6$.
si a_0 a1 a2,... son impares que satsifacen una recursion linear
y el polinomio de esa recursion tiene raices r1 r2 ... rk con r2 ,.., rk <1
entonces para K grande
a_K es MUY aproximado a 2r_1^K
entonces para K grande, r_1^K cumple
y ya, te tomas r=r_1^N para N muy grande
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