miércoles, 2 de junio de 2010

Problema 5 de la Centro

Creo que a alguien le ha de interesar que postee mi solucion del 5 por si alguien tiene curiosidad de verla.(aunque el nivel de problema se sale un poco del nivel para el que estamos entrenando)

Enunciado:
Dados p,q,r racionales distintos tales que (pq^2)^(1/3)+(qr^2)^(1/3)+(rp^2)^(1/3) es racional distinto de 0.
Demuestra que 1/(pq^2)^(1/3)+1/(qr^2)^(1/3)+1/(rp^2)^(1/3).

Demostracion:
Lema: Sea a,b,c racionales distintos de 0 tales que a*(b^(1/3))+c*(b^(2/3)) es racional, entonces b^(1/3) tambien lo es.
Sea t=a*(b^(1/3))+c*(b^(2/3)), entonces b^(1/3) es una solucion de la cuadratica cx^2 + ax -t, entonces
b^(1/3)=(-a +- (a^2+4ct)^1/2)/2c. b^(1/3) es racional SII +-(2c*b^(1/3)+a) lo es SII (a^2+4ct)^1/2 es racional.
ahora,elevando al cubo queda una exprecion T en la derecha, y b en la izquierda. Tenemos que T=b que es racional, entonces T es racional SII 8*T*c^3 es racional. Substituyendo T, tenemos que ((a^2+4ct)^(1/2)) * (+-1)(4a^2+4ct)-a^3-a(a^2+4ct) es racional SII (a^2+4ct)^1/2(+-1)(4a^2+4ct) es racional SII (a^2+4ct)^1/2 es racional SII b^(1/3) es racional. QED.


Llamemos A=(pq^2)^(1/3)+(qr^2)^(1/3)+(rp^2)^(1/3) y B=1/(pq^2)^(1/3)+1/(qr^2)^(1/3)+1/(rp^2)^(1/3).
Tenemos que A es racional, entonces A^3 es racional.Quitando los terminos sin raizes cubicas y dividiendo entre 3,queda que (pq+qr+rp)*(pqr)^(1/3)+(p+q+r)*(pqr)^(2/3) es racional, porlotanto poniendo a=pq+qr+rp, b=pqr, y c=p+q+r,tenemos que a,b,c son racionales y tambien a*(b^(1/3))+c*(b^(2/3)) es racional, entonces b^(1/3)=(pqr)^(1/3)=u tambien lo es. Ahora, consideremos AB. AB es racional SII AB-3 es racional SII (pq/r^2)^(1/3)+(r^2/pq)^(1/3)+ (pr/q^2)^(1/3)+(q^2/pr)^(1/3)+ (rq/p^2)^(1/3)+(p^2/rq)^(1/3) SII (pqr/r^3)^(1/3)+(r^3/pqr)^(1/3)+(pqr/p^3)^(1/3)+(p^3/pqr)^(1/3)+(pqr/q^3)^(1/3)+(q^3/pqr)^(1/3) es racional, SII u/r+r/u+u/p+p/u+u/q+q/u es racional, pero como u,p,q y r son racionales esta ultima exprecion tambien es racional, porlotanto AB es racional y como A es racional, B es racional.

4 comentarios:

Quique12 dijo...

Esta muy padre tu solución. Gracias por escribirla aquí.

Georges dijo...

Diego, felicidades de nuevo por tu gran actuación.

Nada mas queda la pregunta obligada, ¿Por qué te bajaron un punto?

Diego627 dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Diego627 dijo...

siguiendo con la notacion del problema, demostre que AB era racional, y dije que como A es racional, tambien B. Pero me falto decir que A era diferente de 0, aunque esto te decian que era cierto.

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