martes, 1 de junio de 2010

Pregunta.

A ver si alguien me puede ayudar. Estaba intentando un problema de ecuaciones funcionales de Vietnam y tengo una duda. Bueno, el link está abajo, ahí viene el problema y dos soluciones. Te piden encontrar el máximo número real A que cumple una desigualdad. Pero, necesariamente existe ese real? En la solución de un tal olorin encuentra A de una forma sencilla, pero asumiendo que existe. Y si no existiera? O porque te lo pide el problema puedes asumir que existe? Tal vez la respuesta sea la segunda solución que dan con una sucesión que converge a 1/2. Puede sonar tonto, pero tego la duda, con eso de que la sucesión converge a 1/2 nos aseguramos de que no podría suceder algo como que el A que busquemos no exista porque para cada constante k que cumpla la desigualdad podemos encontrar otra constante mayor k' > k pero siempre menor que 1/2. No podría existir una función de las de la familia F que no cumpla la desigualdad cuando k=1/2. Es que con eso de que las sucesiones convergen siempre me confundo...

Problema

14 comentarios:

Diego627 dijo...

la solucion de "olorin" muestra que 1/3 esta en el subconjunto G de tales A's que cumplen eso(sin que necesariamente sea el elemento mayor)
creo que tiene un paso mal,dice que 1/2 esta en G entonces el A maximal es menor o igual a 1/2, pero seria A mayor o igual a 1/2, pero igual eso es otro detalle

Quique12 dijo...

Tenía un post largo tratando de explicar lo que hizo olorin para demostrar que el maximo existe, pero me parece que tiene un fallo.
Demuestra que G no es vacío y que tiene una cota superior. Por lo tanto tiene un supremo. Pero no explica porque el supremo esta en G.


Con respecto a tu pregunta de convergencia. Pues todas las funciones cumplen que f(x) >= (1/2 -epsilon)x.
Pero epsilon puede acercarse tanto a cero como quieras, lo cual implica que f(x)>= 1/2 x.

Quique12 dijo...

Diego, cuando olorin demuestra que A <= 1/2 tiene razón. Si te fijas la función f(x) = x/2, cumple las caracteristicas de F y no cumple f(x) >= Ax para A > 1/2. Así que A <=1/2. En esa parte no demuestra que 1/2 está en G. Lo demuestra despues.

IrvinG dijo...

Diego, creo que leíste mal la solución de olorin, si usa dice que A es el máximo elemento en G, de hecho con eso da el último paso de que A>=1/2

Quique12 dijo...

Como quiera olorin esta bien en que el sup G es un elemento de G en este caso.
Demostremoslo:
Si A = sup G, entonces para cualquier epsilon > 0, existe un A' en G tal que A-A' < epsilon.
Por lo tanto para toda f en F, tenemos que f(x) >= A'x >= (A - epsilon) x.
Pero esto es cierto para cualquier epsilon, lo cual implica que tiene que ser cierto que f(x) >= Ax.
Por lo tanto A en G.

Ahora que tenemos que el sup G está en G, el resto de la demostración sirve.

IrvinG dijo...

Oye Quique, otra pregunta, el supremo es como una cota o algo así?

Quique12 dijo...

El supremo es como el máximo. Si tu conjunto es de reales entonces a veces el conjunto no tiene máximo. Sin embargo siempre tiene un supremo (aunque a veces el supremo = infinito).

Ejemplos:
sup{1,2,3} = 3
sup{1,2,3,3.1,3.2} = 3.2
sup{x: 0 < x < 1} = 1

Nota que el conjunto {x: 0 < x < 1} no contiene a 1. No tiene máximo, porque si tu agarras un número cerca de 1, yo te puedo dar uno más grande.
Sin embargo, no puedes agarrar nada más chico que 1 que no esté en el conjunto. Por eso 1 es el supremo.

IrvinG dijo...

Creo que me perdí en tu última parte de la explicación. Hasta f(x)>=A'x>=(A-epsilon)x todo va bien, pero no entendí por qué esto implica que A está en G.

Quique12 dijo...

Es la misma razón del comentario donde explique porque 1/2 cumple.

Trataré de explicarlo mejor:

Para cualquier epsilon > 0, sabemos que para toda x, f(x) >= (A - epsilon)x.

Esto cumple para cualquier epsilon.
Supón que existe una función g que no cumple que g(x) >= A x para toda x.
Entonces para algún c > 0 y algún x, g(x) <= (A - c)x.
Sin embargo, si escoges epsilon = c/2, entonces g(x) >= (A - c/2)x (por lo que demostramos de que toda f cumple f(x) >= (A-epsilon)x).
Llegamos a una contradicción ya que 1/2 - c/2 > 1/2 - c. Por lo tanto todas las funciones cumplen que f(x) >= Ax para toda x.

IrvinG dijo...

Gracias, ya quedó claro!

Georges dijo...

Es lo malo de mathlinks, luego las soluciones que ponen estan mal, o como se quieren ver muy pros, la ponen super cortita y se saltan muchisimos pasos y luego no se entienden!!

Georges dijo...

Es lo malo de mathlinks, luego las soluciones que ponen estan mal, o como se quieren ver muy pros, la ponen super cortita y se saltan muchisimos pasos y luego no se entienden!!

Carlos dijo...

Mira para responder tu pregunta

"Te piden encontrar el máximo número real A que cumple una desigualdad. Pero, necesariamente existe ese real?"

Me gusta mucho que te hagas esta pregunta. Mira los numeros reales tienen la propiedad de que cualquier subconjunto P de numeros reales no vacio y con una cota superior tiene necesariamente un supremo. i.e el numero mas chico mayor a cualquier numero que pertenece a P. Entonces para decir que esta A existe tienes que demostrar que el conjunto no es vacio y que tiene una cota con eso es suficiente para decir que existe un supremo.

De hecho esta propiedad es una propiedad "fundamental" de los reales. Por ejemplo puedes demostrar que cuealquier cuerpo ordenado que tenga supremo tiene que ser isomorfo a los numeros reales. Estoy hablando muchas palabras raras tal vez. Pero lo que quiero decir es que esta propiedad es caracteristica de los reales. No lo cumplen los complejos ni los racionales ni ninguna otro cuerpo que te puedas imaginar.

Quique12 dijo...

Carlos, pero necesitas más que un supremo. El supremo a veces es parte del conjunto y a veces no. En este caso requerimos que el supremo sea un elemento del conjunto. Algo que olorin no demostró.

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