martes, 8 de junio de 2010

Problema del día: Junio-8-10

Primero, repetiré el que ya puse, puesto que nadie lo ha resuelto ,(si es un problema nasty de verdad), no soy muy fan de ponerle dificultad a los problemas, puesto que por lo regular tienden a reflejar mas que tanto batallo el que lo propuso que la dificultad del problema en si, pero si me preguntaran diría que es como un problema 3 (6?) de IMO (o sea que yo batalle mucho)
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Tienen 32 números naturales tales que a_1+a_2+a_3+.......+a_32 = 120

Todas las a's pertenecen al conjunto {1,2,3,4,...........,59,60}

Demostrar que puedes encontrar 2 colecciones disjuntas (particiones) de los 32 números, tales que la suma de los elementos de una colección es igual a la suma de los elementos de la otra.
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Y ahora si el problema correspondiente al día de ahora:
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Demostrar que enteros no negativos a ≤ b satisfacen  (a2 + b2) = n2(ab + 1)   con n entero positivo, si y solo si son términos consecutivos en la sucesión  ak  definida por  a0 = 0,  a1 = n,  ak+1 =  n2 ak - ak-1
El nivel de este es como de un problema 5 de un nacional de Canadá (que solo tiene 5 problemas)
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Y si ese ya lo hicieron ahí les va otro, nivel 3 de 5 de Canada:
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Demuestra que en cualquier sucesión de 2000 enteros cuyo valor absoluto no excede 1000 tales que su suma es 1, podemos encontrar una subsucesion de uno o mas términos cuya suma es 0.
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Y si este también ya lo hicieron, pues mejor, así tienen mas tiempo para el de las particiones.

9 comentarios:

Diego627 dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
David (sirio11) dijo...

El de Canadá Diego?

Diego627 dijo...

si no me equivoco, el que acabas de poner(el problema de hoy) lo hisimos en el ultimo entrenamiento con fer

Diego627 dijo...

si, el de canaada

DANIELIMO dijo...

ya habia visto el de nivel 3 , ves las 2000 posibles sumas de a_1,a_1+a_2, ..... , a_1+....+a_2000, de manera que el valor absoluto de las sumas no exceda 1000 y encuentras que hay dos conguentes con lo mismo mod 2000 y aconcluyes

IrvinG dijo...

El problema de hoy ya lo habíamos hecho en el entrenamiento pasado, como dice Diego.

IrvinG dijo...

Ahora que recuerdo el último problema viene en un libro que tengo, lo intenté pero después de mucho rato no se me ocurría nada y quería algo así como una sugerencia, leí como las primeras dos líneas de la solución, pero pues esa era la idea buena, con eso ya salía fácil. Es como lo que dijo Daniel, acomodas las a_i de tal forma de la suma de los primeros k términos de la sucesión siempre caiga en un intervalo con exactamente 2000 enteros, por ejemplo [-999,1000]. Luego con casillas ves que dos de estas sumas son iguales y ya concluyes fácil.

Quiero aprovechar la oportunidad para preguntar algo que había pensado hace algunos días, quisiera saber qué opinan todos de esto: Ya tenemos el tiempo encima, en menos de un mes nos vamos a la IMO y lo que necesitamos ahora es aprovechar estos días que quedan al máximo, aprender nuevas cosas, trucos, etc. Todos sabemos que lo mejor es resolver muchos problemas, pero creo que hay algunos que tal vez simplemente no nos van a salir porque no conocemos el truco que se tiene que usar (digo esto por ejemplo, por el problema 3 de Canadá, yo creo que a mi no me hubiera salido porque nunca había hecho o intentado eso de acomodar los números para que cumplan que su suma quede en tal intervalo, la forma de concluir es más estándar, pero el paso clave era el anterior). Creo que hay que dedicar siempre suficiente tiempo a los problemas, no se aprende casi nada simplemente leyendo soluciones. Pero mi pregunta es, cuánto es suficiente tiempo considerando nuestra situación?? Yo pienso que en estos momentos no sería muy conveniente ponerte a intentar todos los problemas hasta que te salgan, o si? Porque incluso puedes tardar más de un día para tener la solución, o a veces ni logras llegar a una y creo que intentando el problema un tiempo razonable, digamos sólo por dar un número, 2 horas, si no te sale y lees las primeras líneas de la solución, te da una idea de cómo atacarlo y así poder avanzar. Además en el camino vas aprendiendo nuevo trucos, a veces aprendes más que si hubieras resuelto el problema por tu cuenta, porque cuando haces ésto por lo general usas teoremas y trucos que ya conocías. Bueno, no sé qué opinen los demás.

David (sirio11) dijo...

Yo básicamente estoy de acuerdo contigo Irving, es difícil encontrar el tiempo optimo a dedicar a un problema, pero claramente no es infinito. Quizás deberías empezar un nuevo post con este tópico para leer la opinión de los demás al respecto. Pero yo creo que si debe existir un balance, pues el tiempo es limitado.

IrvinG dijo...

Bueno, voy a poner lo mismo en un nuevo post para que todos lo vean.

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