domingo, 13 de junio de 2010

Problema del día: 13 de junio.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos (a,b) tales que 2ab²-b³+1 divide a a².

4 comentarios:

Manuel Dosal dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Manuel Dosal dijo...

Mmm, ese problema lo estaba haciendo ayer, y creo que a^2/2a(b^2)-(b^3)+1 tiene que ser entero positivo y no solo entero, bueno si es el problema de la IMO del 2003.

Manuel Dosal dijo...

Si es entero positivo, entonces lo que se hace es fijarse que 2a(b^2)-(b^3)+1>0 porque como a^2 para que sea positivo. Luego supongamos que a^2/2a(b^2)-(b^3)+1=k para un k entero positivo. Entonces a^2=2ak(b^2)-k((b^3)-1) (a^2)-2ak(b^2)+k((b^3)-1)=0, y viendo como un polinomio cuadratico en a, vemos que si a_1 y a_2 son las raices entonces uno de ellas es a y una de ellas es entero positivo spdg. sea a=a_1, entonces sabemos que por las formulas de vieta a_1+a_2=2ak(b^2) y a_1a_2=k((b^3)-1), entonces a_2=2ak(b^2)-a_1, y entonces a_1 es entero tambien y luego a_1a_2=k((b^3)-1) con lo que lo de la derecha es positivo solo si b^3-1 es positivo ya que k si lo es. Entonces veamos el caso cuando b^3-1 no es positivo y como b si lo es entonces solo queda que b^3-1=0 b=1, y entonces sustituyendo b=1 en la expresion primera a^2/2a-1^3+1 =a^2/2a y esto es entero si a/2 lo es, esto es para todo a par, entonces (2k,1) es una pareja para k entero positivo. Ahora si no pasa esto entonces en a_1a_2=k((b^3)-1) lo de la derecha seria positivo y entonces como a_1 lo es, entonces a_2 tambien. Y entonces a_2 seria otra solucion a nuestras parejas que queremos encontrar. Ahora tomemos esas 2 soluciones a_1 y a_2 y supongamos que spdg. a_1>=a_2, entonces y entonces a_1>=b^2k (esto sale ya que a_1+a_2=2ak(b^2)), y por a_1a_2=k((b^3)-1) entonces a_2=(k((b^3)-1))/a_1<=(k((b^3)-1))/(b^2)k=b-1/(b^2)a_2. Ahora sabemos como 2a(b^2)-(b^3)+1>0, 2a(b^2)>(b^3)-1, 2a(b^2)>=b^3 y 2a>=b,y como a^2>0 entonces a^2>= 2a(b^2)-(b^3)+1>0, para que lo divida. y a^2>=(b^2)(2a-b)+1, y si 2a>b entonces a^2>=(b^2)(2a-b)+1>=(b^2)+1>b^2, entonces a>b si 2a-b>0, y si no entonces 2a=b para a<=b. Entonces sabemos que la solucion mas chica a_2 es mas chica que b, y entonces si a_2=b entonces 2a_2=b a_2=b/2, sustituyendo a por b/2, en lo primero tenemos que ((b/2)^2)/(2(b/2)(b^2)-(b^3)+1) es entero si (b^2)/4(b^3-b^3+1) si b^2/4 es entero esto es si b es par, y ya encontramos otra pareja (k,2k) para k entero positivo. Ahora tomando la solucion a_2 que tiene que ser igual a b/2 y sustituyendo en la ecuacion cuadratica (a^2)-2ak(b^2)+k((b^3)-1)=0, (b^2)/4 - 2(b/2)b^2k+k((b^3)-1)=0 (b^2)/4 -b^3k+b^3k-k=0, entonces k=b^2-4, entonces podemos encontrar la otra solucion a_1, ya que a_1+a_2=2(b^2)k y a_1=2(b^2)((b^2)/4)-b/2, y entonces a_1=((b^4)-b)/2, y veamos que esta solucion tambien cumple si a_1=b(b^3-1)/2, entonces sustituyendo en lo primero (b^3-1)^2 dividira a b^2(b^3-1)^2/4 si b es par pues si, y si no como 4 divide a (b^3-1)^2 pero (b^2,b^3-1)=1 y por lo tanto (b^3-1)^2 dividara )(b^3-1)^2)/4 pero ambos son positivos y (b^3-1)^2>(b^3-1)^2/4 contradiccion. Solo se puede si b es par y si b=2k, entonces a=2k(8k^3-1)/2=8k^4-k y por lo tanto quedaria solo una pareja mas que seria (8k^4-k,2k) k natural. Entonces hay 3 soluciones (a,b) (2k,1),(k,2k),(8k^4-k,2k) k entero positivo.

IrvinG dijo...

Yo ya había hecho este problema, mañana pongo más o menos la idea de la solución

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