lunes, 17 de enero de 2011

PROBLEMA

Dejaré un problema que, no es ta difícil, pero creo que vale la pena ver la idea.

Sea W unacircunferencia y X, X', Y, Y', Z y Z' puntos en ese orden en W. Sea XX'=YY'=ZZ' en longitud.
Sean A, B y C los puntos de intersección de X'Y con Y'Z, Y'Z con Z'X y Z'X con X'Y respectivamente. Sean A', B' y C' los puntos mdios de YY', ZZ' y XX' respectivamente.
Demostrar que AA', BB' y CC' concurren en un punto.

4 comentarios:

Diego627 dijo...

Como XX'=YY'=ZZ' entonces los arcos correspondientes son iguales entonces XY'||X'Y, XZ'||X'Z y YZ'||Y'Z.
Caso a. Las diagonales XY',YZ',ZX' se intersectan en P. Tenemos que PX'||X'Z||XZ'||XC, XP||XY'||X'Y||X'P entonces CXPX' es paralelogramo y como C' es punto medio de XX' entonces C,C' y P son colineales. Porlotanto AA',BB',CC' se intersectan en P.
Caso b. Las diagonales XY',YZ',ZX' no concurren. Digamos que XY' y YZ',YZ' y ZX', ZX' y XY' se intersectan en R,S,T respectivamente. Por un argumento similar al caso a, tenemos que A,A',R son colineales al igual que B,B',S y que C,C',T.
Tenemos que R y S estan en YZ' entonces RS||YZ'||ZY'||AB. Similarmente ST||CB y RT||CA entonces los triangulos RST y ABC son homoteticos. Porlotanto RA,SB y TC se intersectan en un punto P y como A,A',R;B,B',S;C,C',T son colineales entonces AA',BB',CC' se intersectan en P.

Georges dijo...

Tenemos que x"yy"x es un cíclico con lados opuestos iguales por lo tanto es un trapecio isósceles es decir x"y paralela a xy" paralela a a"c" por ser puntos medios. Es decir a"c" paralela a ac análogamente los otros 3 lados y por lo tanto ABC es homotetico a a"b"c" y por lo tanto concurren las líneas que queremos.

Jorge 'Chuck' dijo...

Tenemos que X'Y y XY' cortan al círculo en arcos iguales puesto que XX'=YY' y ambos son cuerdas, de modo que X'Y||XY' y como A' y C' son los puntos medios de YY' y XX' respectivamente, por el Teorema de Tales tenemos que A'C'||X'Y||AC

Hacemos esto análogamente con los otros dos lados, A'B' y B'C' y obtenemos que ABC y A'B'C' son homotéticos y por lo tanto AA', BB' y CC' concurren en el centro de homotecia.

angel95 dijo...

Ya que cuerdas iguales abren arcos iguales,los angulos (X´Y´X) y (Y´X`Y) son iguales por lo que X´Y//XY´, entonces C´y A´son los puntos medios de los lados no paralelos del trapacio X´YY´X, por lo que C´A´//X´Y//CA analogamente A´B´//AB Y B´C´//BC, por lo que los triangulos ABC Y A´B´C´ son homoteticos por lo que AA´, BB´Y CC´concurren el el centro de homotecia

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