viernes, 28 de enero de 2011

Problema del día 28 de Enero-NUM

Sean $x,y,z\in \mathbb{N}$. Encuentra todos los enteros que se pueden representar como
\[ \frac{(x+y+z)^2}{xyz}\]

6 comentarios:

Jorge 'Chuck' dijo...

(parte 1 de 2):
Supongamos sin pérdida de generalidad que z\geq y\geq x. Dividamos el problema en casos, veamos qué pasa si z>3 de aquí que xyz>3x^{2} y 3y^{2}\leq3xyz por lo tanto 3x^{2}+3y^{2}<4xyz. Como z\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow z\mid(x+y)^{2} y como todos son naturales, z\leq(x+y)^{2}\leq2x^{2}+2y^{2} por reacomodo. De aquí que x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq3x^{2}+3y^{2}<4xyz\Rightarrow\frac{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{xyz}=\frac{x^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{y^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{z^{2}}{\frac{xyz}{3}}<12 y por la útil tenemos que 12>11\geq\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz}.

Ahora veamos qué pasa si z=1, claramente como z\geq y\geq x entonces x=y=z=1 y nos da 9 como resultado. Si z=2 entonces puede que x=y=1 y el resultado es 8 ó y=2 y por lo tanto 4\mid(x+y+z)^{2} por lo que x es par y entonces x=2 pero no nos da resultado entero así que no lo tomaremos en cuenta. Si z=3 entonces como 3\mid(x+y+z)^{2} entonces x+y\equiv0(mod3)de modo que y=2 y x=1y de esto obtenemos como resultado 6 ó x=y=3 en cuyo caso nos da 3 de resultado.

Primero veamos que si (x,y,z)=d\neq1y se cumple que \frac{(x+y+z)^{2}}{xyz}=k donde k\in\mathbb{N}, entonces se cumple también que \frac{(\frac{x}{d}+\frac{y}{d}+\frac{z}{d})^{2}}{\frac{xyz}{d^{3}}}=kd.

Supongamos que11=\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz}. De aquí que 11\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow11\mid x+y+z pero además, por lo anterior, ya sea que 121\mid(x+y+z)^{2} y x, y ó z es múltiplo de 11 y z\geq11 y si analizamos correctamente podemos ver que xyz>6x^{2} y 6y^{2}\leq6xyz por lo tanto 3x^{2}+3y^{2}<\frac{7xyz}{2}. Como z\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow z\mid(x+y)^{2} y como todos son naturales, z\leq(x+y)^{2}\leq2x^{2}+2y^{2} por reacomodo. De aquí que x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq3x^{2}+3y^{2}<\frac{7xyz}{2}\Rightarrow\frac{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{xyz}=\frac{x^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{y^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{z^{2}}{\frac{xyz}{3}}<\frac{21}{2} y por la útil tenemos que \frac{21}{2}>10\geq\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz} . Por lo que el 11 no se puede hacer.

De manera similar vemos qué pasa si 10=\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz}. De aquí que 2\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow2\mid x+y+z y también vemos que 5\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow5\mid x+y+z. Por lo que al menos uno de x, y, z es par, y sólamente uno, ya que de lo contrario, por nuestra observación de más arriba, también se podría escribir al 20 de esa forma, y no es cierto. De la misma manera, hay al menos un múltiplo de 5 y sólamente uno. Si x+y+z=10 notamos que entonces xyz=10 por lo que o z=10 y x=y=1 pero no se cumple lo que queremos, la otra opción es que z=5, y=2 y x=1 pero tampoco se cumple, por lo que six+y+z=10 no se puede. Six+y+z=20 entonces xyz=40 por lo que el número par es múltiplo de 8, otro puede ser 5 y el otro 1 pero no se cumple, pero si z=40 y y=x=1 tampoco por lo que x+y+z=20 no cumple.

Jorge 'Chuck' dijo...

(parte 2 de 2)
Si x+y+z=30 y xyz=90=2\cdot3^{2}\cdot5 por lo que z\geq10 sólo que los 3 no pueden ser 10 \therefore z\geq15 puesto que es el menor divisor de 90 mayor que 10 y si la suma de los tres aumenta, esto permanece siendo verdad por argumentos muy similares. Con esto vemos que xyz\geq15x^{2} y 15y^{2}\leq15xyz por lo tanto 3x^{2}+3y^{2}\leq\frac{16xyz}{5}. Como z\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow z\mid(x+y)^{2} y como todos son naturales, z\leq(x+y)^{2}\leq2x^{2}+2y^{2} por reacomodo. De aquí que x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq3x^{2}+3y^{2}\leq\frac{16xyz}{5}\Rightarrow\frac{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{xyz}=\frac{x^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{y^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{z^{2}}{\frac{xyz}{3}}\leq\frac{48}{5} y por la útil tenemos que \left[\frac{48}{5}\right]=9\geq\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz} ya que tiene que ser entero, por lo que el 10 es imposible de hacer de esta forma.

Supongamos que 7=\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz}. Para esto veamos algo interesante y de gran utilidad: como ningún múltiplo de 7 se puede formar entonces (x,y,z)=1 (por nuestra observación de más arriba) pero si uno es múltiplo de p para todo primo p, los desordenamos y suponemos que p\mid z entonces p\mid(x+y)^{2}\Rightarrow p\mid x+y pero no sólo eso, sino que como (x,y,z)=1 entonces p es un primo excusivo de z, por lo que en realidad todos deben ser coprimos: (x,y)=(x,z)=(y,z)=1. Entonces si suponemos que están desordenados y que 7\mid z\Leftrightarrow7r=z para algún r\in\mathbb{N} entonces sabemos que 49xyr=(x+y+7r)^{2}\Leftrightarrow7\sqrt{xyr}=x+y+7r\therefore xyc es un cuadrado perfecto, pero no sólo eso sino que como son coprimos 2 a 2, cada uno es un cuadrado perfecto por lo que x=a^{2}, y=b^{2} y r=c^{2}. De aquí podemos ver que 7abc=a^{2}+b^{2}+7c^{2}. Pero los residuos cuadráticos módulo 7 son 1,4 y 2 y no hay dos de ellos cuya suma sea múltiplo de 7 por lo tanto, no se puede formar al 7 de esta manera.

Sea f(x,y,z)=\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz} veamos que todos los números del 1 al 9 exceptuando el 7 se pueden formar:

f(1,1,1)=9, f(3,3,3)=3, f(9,9,9)=1, f(1,1,2)=8, f(2,2,4)=4, f(4,4,8)=2, f(1,4,5)=5 y finalmente f(1,2,3)=6 por lo que hemos acabado.

NOTA: Esto está en LyX así que tal vez tengan algunos problemas leyéndolo, lo lamento...

Georges dijo...

Hola Jorge:

Es un poco complicado leer tu solución. ¿Como se puede leer ese formato?

Creo que tiene un error tu solución, en la primera parte tu escribiste:

"Como z\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow z\mid(x+y)^{2} y como todos son naturales, z\leq(x+y)^{2}\leq2x^{2}+2y^{2} por reacomodo. De aquí que x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq3x^{2}+3y^{2}"

Probaste que z es menor o igual a 2x^{2}+2y^{2}, y luego usaste que z^2 es menor o igual a 2x^{2}+2y^{2}, pero z^2 es mayor que z, asi que como sabes que la ultima desigualdad es cierta???

Jorge 'Chuck' dijo...

Cierto, creo que no lo vi bien

IrvinG dijo...

@Chuck: ¿podrías poner lo que está en LaTeX entre signos de pesos? Es que es un poco tedioso leer tus soluciones como las dejas jeje

IrvinG dijo...

¿Qué pasa? ¿No ha salido? Bueno, ahí les va una sugerencia...

SUGERENCIA: supón que $m$ se puede escribir como queremos, entonces mostrar que existen enteros $x,y,z$ tales que cualquiera de ellos es menor o igual que la suma de los otros dos y
\[m= \frac{(x+y+z)^2}{xyz}\]

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