jueves, 27 de enero de 2011

Problema del día 27 de Enero-ALG

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Supongamos que para algún entero positivo $n$ existe un entero positivo $k\neq 1$ tal que $P^k(n)=n$. Demuestra que $P^2(n)=n$

Nota: $P^1(n)=P(n), P^2(n)=P(P(n)),...$

7 comentarios:

Diego627 dijo...

sabemos que $a-b|P(a)-P(b)$ entonces
$P(n)-n|P^2(n)-P(n)|\ldots |P^{k+1}(n)-P^k(n)=P(n)-n$
Entonces $|P(n)-n|=|P^2(n)-P(n)|=|\ldots =|n-P^{k-1}(n)|$
Supongamos que $P^2(n)\neq n$. Si $P^{r+2}(n)=P^r(n)$ entonces $P^{r+2+(kr-r)}(n)=P^{r+(kr-r)}(n)$ entonces $P^{rk+2}(n)=P^{rk}(n)$ entonces $P^2(n)=n$ !!!.
Entonces el signo de $P(n)-n,P^2(n)-P(n),\ldots ,P^{k-1}(n)-P^{k-2}(n),n-P^{k-1}(n)$ pero sí los sumamos todos nos da $0$ porlotanto $P(n)-n=0$ porlotanto $P^2(n)=n$ Contradiccion!
Entonces $P^2(n)=n$

Jorge 'Chuck' dijo...

Puesto que P(x) tiene coeficientes enteros a-b\mid P(a)-P(b) por lo que P^{c}(a)-P^{c}(b)\mid P^{c+1}(a)-P^{c+1}(b) y por lo tantoP(n)-n\mid P^{2}(n)-P(n) y a su vez P^{a}(n)-P^{a-1}(n)\mid P^{a+1}(n)-P^{a}(n) por lo que P(n)-n\mid P^{2}(n)-P(n)\mid...\mid P^{k+1}(n)-P^{k}(n)=P(n)-n por lo que o bien todos son el mismo o van alternando signos ya que P(n)-n\mid P^{2}(n)-P(n)\mid P(n)-n ; pero si vemos bien, \sum_{i=1}^{k}P^{i}(n)-P^{i-1}(n)=0 por lo que o todos son iguales a 0 o se van cambiando los signos de sus valores.

Si todos son 0, entonces P(n)=n y por lo mismo P^{2}(n)=n y acabamos. Sino, entonces hay dos casos, que k sea par o impar. Si es par, entonces P(n)-n=-P^{k}(n)+P^{k-1}(n)=-n+P^{k-1}(n) y de aquí que P(n)=P^{k-1}(n) y por lo mismo P(P(n))=P(P^{k-1}(n)) entonces P^{2}(n)=n y acabaríamos. Si k es impar entonces P(n)-n=-P^{k+1}(n)+P^{k}(n)=-P(n)+n\Longrightarrow2P(n)=2n\Longrightarrow P(n)=n\therefore P(P(n))=P^{2}(n)=P(n)=n y acabamos.

jorge garza vargas dijo...

Yo lo resolví igual que Diego. Con esa misma idea y un poquito más se puede resolver este problema:
"http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=572821&sid=692898edb5e081bdffc3b4996df64a59#p572821"
Es el 5 de la IMO del 2006, ahí pa quien guste intentarlo.

Georges dijo...

Primero vemos que como el polinomio P tiene coeficientes enteros a-b divide a P(a)-P(b), por lo tanto P(n)-n divide a P^2(n)-P(n) divide a ... P^{k+1}(n)-P^{k}(n)=P(n)-n.

Por lo tanto todos estos numeros tienen el mismo valor absoluto.

Ahora, si tenemos que P^{t}(n)=P^{t+1}(n), entonces iterando estos numeros suficientes veces obtenemos que n=P(n)=P^{2}(n).

Si no pasa eso entonces considera P^{s}(n) como el minimo de P(n),P^{2}(n),...P^{k}(n) entonces como dos iteraciones consecutivas no son iguales tiene que pasar que P^{s}(n)-P^{s-1}=P^{s}(n)-P^{s+1}(n), por lo tanto P^{s-1}(n)=P^{s+1}(n), e iterando suficientes veces vamos a obtener que n=P^{2}(n)

Fin

Manuel Alejandro dijo...

Primero observamos que: $P^{k}(n)=n\Rightarrow P^{k+1}(n)=P(n)$, entonces $P(n)-n\mid P^{2}(n)-P(n)\mid P^{3}(n)-P^{2}(n)\mid...\mid P^{k}(n)-P^{k-1}(n)\mid P^{k+1}(n)-P^{k}(n)=P(n)-n$, de lo que obtenemos que $\mid P(n)-n\mid=\mid P^{2}(n)-P(n)\mid=\mid P^{3}(n)-P^{2}(n)\mid=...=\mid P^{k}(n)-P^{k-1}(n)\mid=\mid P^{k+1}(n)-P^{k}(n)\mid=t$. Si P(n)=n, ya acabamos, porque P(P(n))=P(n)=n. Supongamos que $P(n)\neq n$ y que P(n)>n. Entonces P(n)-n=t. Como $\mid P^{2}(n)-P(n)\mid=t$. Si $P^{2}(n)P(n)$, por lo cual, $P^{2}(n)=2t$. Así llega hasta cierto j, donde $P^{j-1}(n)P^{j+1}$,con lo que ves que $P^{j-1}(n)=P^{j+1}(n)$, y con lo que observas que $n<P^{j-1}(n)=P^{j+1}(n)=P^{j+3}(n)=...$ y que $n<P^{j}(n)=P^{j+2}(n)=P^{j+4}(n)=...$, entonces si $\exists k$ tq $P^{k}(n)=n$, debe ser k=2 ó k=1, pero si es k=1, inmediatamente se ve que k=2 también cumple. Análogamente resolvemos cuando P(n)<n.

Manuel Alejandro dijo...

Algunas partes se salieron del margen, checa el código en lo que falta...

rvaldez dijo...

Hola David, problema resuelto y comentado por
Diego, Jorge Chuck, Jorge Garza, Georges, Manuel Alejandro

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