miércoles, 5 de enero de 2011

Examen # 2: Competencia de Invierno 2010-2011

Problema 1.- Un triángulo equilátero $ABC$ está inscrito en una circunferencia. Una segunda circunferencia es tangente interiormente a la primera en $T$ y tangente a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Si $AB=12$, ¿cuánto mide $PQ$?

Problema 2.- ¿Cuántos $n\in \mathbb{N}$ menores que 1000 cumplen que si $n=p_{1}p_{2}...p_{k}$ con los $p_{i}$ primos no necesariamente distintos, entonces $n$ divide a $(p_{1}+1)(p_{2}+1)...(p_{k}+1)$?

Problema 3.- Considere 6 puntos sobre una circunferencia. ¿Cuál es el máximo número de cuerdas que pueden trazarse entre esos puntos de manera que no haya 4 de ellos que determinen un cuadrilátero con todos sus lados y diagonales trazadas?

Problema 4.- Usando las letras  E, I, L,N, S exactamente una vez formamos palabras de 5 letras. Si todas estas palabras son puestas en orden alfabético, la palabra NIELS ocupara el lugar numero ?

Problema 5.- El producto de 3 enteros positivos consecutivos es 8 veces su suma. Encontrar la suma de sus cuadrados.

Problema 6.- Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sobre sus lados se construyen exteriormente cuadrados $ABC_{1}C_{2}, BCA_{1}A_{2}$ y $CAB_{1}B_{2}$. Encuentra la razón entre las áreas de los triángulos $A_{1}B_{1}C_{1}$ y $ABC$.

 Problema 7.-  Sea $n=2^{31}3^{19}$. ¿Cuántos divisores positivos de $n^2$ son menores que $n$ pero no dividen a $n$?

Problema 8.- Sea $T=(a,b,c)$
. Decimos que $T$“es un triángulo” si existe un triángulo de longitudes $a,b,c$ satisfaciendo $a\ge b\ge c>0$.
Definimos $T^2=(a^2,b^2,c^2)$, $\sqrt{T}=(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})$ . Considere las siguientes afirmaciones:
1.- Si  $T$es un triángulo equilátero,  $T^2$es equilátero.
2.- Si  $T$ es un triángulo rectángulo,  $T^2$es un triángulo.
3.- $T^2$ 
es un triángulo si y sólo si  es un triángulo acutángulo.
4.- $\sqrt{T}$ 
siempre es un triángulo para todo triángulo $T$.
5.- Si  $T$ es un triángulo entonces los ángulos de 
$\sqrt{T}$
 son agudos.
¿Cuántas de las afirmaciones anteriores son verdaderas?

Problema 9.- En un plano hay un cangrejo en el punto (0,0). En cada paso el cangrejo puede moverse una unidad hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda. Si el cangrejo da 10 pasos, ¿en cuántos puntos distintos del plano puede quedar al final?


Problema 10.- Las longitudes de los lados de un triángulo son 3, 6 y 7. Tomando los vértices como centros, se trazan tres círculos tangentes exteriormente dos a dos. Determina la suma de las áreas de los círculos.

Problema 11.- Pedro, Ana y Julián eligen cada uno tres enteros del conjunto {1,2,…,9} sin repetir. Pedro tomó tres números consecutivos cuyo producto es 5 veces su suma. Ana no tiene ningún número primo pero sí tiene dos enteros consecutivos y el producto de sus números es 4 veces su suma. ¿Cuál es el producto de los números que tiene Julián?


Problema 12.- Sean $a,b,c,d,e,f,g$ y $h$ elementos del conjunto $\{-7,-5,-3,-2,2,4,6,13\}$, todos distintos. ¿Cuál es el mínimo valor posible de $(a+b+c+d)^2+(e+f+g+h)^2$ 


Problema 13.- Sea ABC un triángulo acutángulo. Sean H,G,M los pies desde la altura, la bisectriz y la mediana desde A. Se sabe que HG=GM, AB=10, AC=14. ¿Cuál es el área del triángulo ABC?

Problema 14.- Los lados de un triangulo tienen longitudes  11,15,  k, donde k es un entero. Para cuantos valores de k el triangulo es obtuso?

Problema 15.- Las raíces del polinomio $x^2+mx+n$ son el doble de las raíces de $x^2+px+m$ y ninguno de los números $m,n$ y $p$ es cero. Calcula $n/p$.

113 comentarios:

DANIELIMO dijo...

poblema 1
8

Enrique dijo...

p5 77

Manuel Alejandro dijo...

rblema 4:3*4!+3!

DANIELIMO dijo...

problema 4
78

Enrique dijo...

p11 84

DANIELIMO dijo...

problema4
79

Manuel Alejandro dijo...

Prblema 9=97

Diego627 dijo...

problema 2, 9

KapadeSa =) dijo...

p15=8

David (sirio11) dijo...

Que paso? se acabaron los que ya se sabian de memoria? jejeje

Diego627 dijo...

Problema 7-63*39-32*20

jose nain dijo...

p5 84

jose nain dijo...

p11 84

Flavio dijo...

p2. si no se cuenta el uno, por que no esta definida la descomposicion en primos entonces es 8

DANIELIMO dijo...

problema 14
13
15 si se vale degenerados

Diego627 dijo...

Problema 8: 4 son verdaderas, todas excepto la 2

angel95 dijo...

problema 14 10

Manuel Alejandro dijo...

roblema 12: son 34

Flavio dijo...

prob 15 = 8

Manuel Alejandro dijo...

problema 10: 30pi

Adán dijo...

problema 10. 30pi

María dijo...

Problema 11 84

Diego627 dijo...

Prob3: 12

KapadeSa =) dijo...

p11=84

Enrique dijo...

pr.12 34

angel95 dijo...

problema 6 4

Flavio dijo...

prob 9 . 361

angel95 dijo...

problema 6-. 4 por si no se entiende arriba

José.Ra dijo...

problema 6:........
4 + raíz(3)

María dijo...

Problema 7:
171

Enrique dijo...

problema 10 30pi

María dijo...

Problema 3:
12

Diego627 dijo...

problema 4 79

jose nain dijo...

p13 raiz de s(s-x)(s-14)(s-10) donde s=12+6por riz de 2, y x=12poraiz de 2

Diego627 dijo...

problema 9 121

Adán dijo...

Problema 13. 12 por raiz de 34

José.Ra dijo...

problema 13:
24raíz(34)

José.Ra dijo...

entre dos

Flavio dijo...

prob 6. 3+ 2 Raiz(2) cos 15

David (sirio11) dijo...

@Jose.Ra lol

jose nain dijo...

p13 4por raiz de 34

José.Ra dijo...

jaja
yo tampoco me creería, pero de verdad se posteó mi comentario por accidente antes de acabarlo

jose nain dijo...

perdon me comi un 3
mi primer respuesta es igual a 12 por raiz de 64

DANIELIMO dijo...

Problema 13
200/3(raizde 2)

Adán dijo...

problema 15. (n/p)=8

Manuel Alejandro dijo...

problema 13: 12(raíz(34))

jose nain dijo...

en el problema 13

DANIELIMO dijo...

q es igual a 100(raiz de 2)/3

Diego627 dijo...

prob 14 13

Flavio dijo...

prob 12. 32

David (sirio11) dijo...

10 minutos para buscar errores de otras respuestas

José.Ra dijo...

incluyendo las nuestras?

Adán dijo...

Problema 6. 4

DANIELIMO dijo...

problema 5
52

IrvinG dijo...

Se puede corregir? O cómo?

Flavio dijo...

digo prob 12. 34

DANIELIMO dijo...

problema 5
77

Adán dijo...

Problema 5. 77

angel95 dijo...

problema 14 : 13

David (sirio11) dijo...

Incluyendo las suyas claro, para quitar esos puntos negativos

angel95 dijo...

problema 5: 77

Diego627 dijo...

problema 7. 171

David (sirio11) dijo...

1 minuto

angel95 dijo...

problema 6 3+ 2 Raiz(2) cos 15

Flavio dijo...

prob 14. 13

jose nain dijo...

p5 149

Adán dijo...

problema 1. 8 (David, noté que me equivoqué de post cuando subí mi respuesta, valerá?)

David (sirio11) dijo...

TIIIIIIMMMMMEEEEE OOOOVVVVVEEEERRRRR !!!

Manuel Alejandro dijo...

Problema 4: 3*4!+3!+1

Diego627 dijo...

xD pobre manuel, se quedo justo despues del final

Enrique dijo...

pr6 19+8raizde3

David (sirio11) dijo...

Si me fije Adan, si la pensaba valer, estuviera bien o mal

jose nain dijo...

jajajajaja
pobre manuel....

IrvinG dijo...

Estuvo bien con 15 problemas, no?

Manuel Alejandro dijo...

jeje, lo sé, sólo era para corregir algo... pero veo que ya lo habian contestado de todos modos

David (sirio11) dijo...

Creo que si faltaron algunos mas, no Irving

David (sirio11) dijo...

Te va a costar 1 punto Manuel

Diego627 dijo...

y cuales son los puntajes y resultados/respuestas?

jose nain dijo...

yo opino k deverian ser mas problemas

DANIELIMO dijo...

que pasa sipuse un resultado mal y luego lo corregi?

IrvinG dijo...

Bueno, pensandolo bien si, algunos. Tal vez 15 queden bien para el de 45 min, no?

David (sirio11) dijo...

si 15 (como estos) para 45 mins hubiera quedado bien

David (sirio11) dijo...

Si te refieres al 78 y al 77 Daniel, vas a sacar 0 ahi

Diego627 dijo...

se me hacen muy "AIME"-scos estos examenes, como si fueramos a prepararnos pero para la USAMO

IwakuraIsa dijo...

Eso es bueno, la USAMO tiene buen nivel

David (sirio11) dijo...

Perdon, 78 y 79 Daniel, sacarias -1+1 = 0; cuenta el 79 porque nadie la habia sacado

Manuel Alejandro dijo...

en caso mío, de haber puesto 79, sacaba 0 puntos?

DANIELIMO dijo...

y en el 78 y despues 79 enel problema 5?

David (sirio11) dijo...

no Manuel, tienes razón, ya no afectaba porque ya habia alguien puesto el 79

DANIELIMO dijo...

por eso en el 78 79 deberian quitarme la mala

DANIELIMO dijo...

y en el prob 5 , perdon q ue pose 78 y luego 77, pero ya lo habian contestado desde el pincipio (y no vi)?

David (sirio11) dijo...

en el prob 5 creo que pusiste un 52 no?, en todo caso seria -1, ya que tu respuesta correcta ya no cuenta porque alguien ya la habia contestado

KapadeSa =) dijo...

yo tenía en el 6 4 +raiz de 3.... cual era la respuesta correcta?... hay muchas!!

Manuel Alejandro dijo...

alguien sabe si subieron los resultados de los demás problemas de los selectivos o todavía no ¿?

IrvinG dijo...

Si es esa Karina

David (sirio11) dijo...

del 6 la respuesta es 4+sqrt{3}

DANIELIMO dijo...

van a poner las respuestas de los problemas?

DANIELIMO dijo...

y cuanto valia cada uno?

Manuel Alejandro dijo...

por cierto... es latex lo que esriben? yo no se leerlo :S, me he tenido que saltar algunos problemas por dicha razón

IrvinG dijo...

Pero en los problemas te deben aparecer ya las expresiones, no los códigos...

IwakuraIsa dijo...

@Manuel. Eso es algo que debiste de haber tratado de solucionar despues de haber visto el examen pasado, Latex no sirve con Internet Explorer, les recomiendo usar Chrome o Firefox

Enrique dijo...

a mi me pasa lo mismo :/

Manuel Alejandro dijo...

mmmm... no

Manuel Alejandro dijo...

oh rayos, de hber sabido, tambien tengo chrome... bueno, gracias

David (sirio11) dijo...

Si, en Cromo y Firefox/Mozilla, no deben tener problemas. Ahorita les pongo las respuestas

DANIELIMO dijo...

aaaa, no sabia q en firfox si se le el latex

DANIELIMO dijo...

jajaja, ya con firefox todo se ve bonito

David (sirio11) dijo...

jajaja, que raro que nadie menciono nada la vez pasada :(

Manuel Alejandro dijo...

es que creo que la otra vez fue solo un problema, entonces como que no causó mucha importancia :S... otra razón más de por qué chrome y mozilla > internet explorer :D

David (sirio11) dijo...

yo uso chrome casi para todo; y en 2o lugar Firefox, ni me había fijado yo en el problema porque tengo años que no uso explorer

IwakuraIsa dijo...

La vez pasada quizás no te diste cuenta porque eran 3 problemas, y los otros tenian LaTeX pero era copypasta de las imagenes de un foro.

David (sirio11) dijo...

Ya mejor mañana les pongo soluciones, puntuaciones por problemas y como salieron. Como siempre, si alguien quiere opinar cuales deben valer 1, cuales 2 y cuales 3, son bienvenidos a comentar ahorita, igual e influyen :)

Manuel Alejandro dijo...

:o no podré dormir con la angustia, jeje, nah, mejor asi descanso y sueño con k me fue muy bien

Publicar un comentario