lunes, 10 de enero de 2011

Examen 3 de la Competencia de Invierno!!!

Problema 1. ¿Cuál es el menor $n\in \mathbb{N}$ tal que todo subconjunto de $n$ elementos de $\{1,2,...,20\}$ contiene dos números con diferencia 8?

Problema 2. ¿Para cuántos enteros positivos $n$ se cumple que el polinomio $nx^{4}+4x+3$ tiene al menos una raíz real?

Problema 3. Si las alturas de un triángulo miden 12, 15 y 20, ¿cuánto mide el ángulo interior más grande?

Problema 4. Una caja rectangular de m x n x p tiene la mitad de volumen que una caja rectangular de (m+2) x (n+2) x (p+2), donde m, n y p son enteros. Encontrar el máximo valor posible de p.

Problema 5. Dada una sucesión finita $S=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ de $n$ números reales, definimos $A(S)$ como la sucesión de $n-1$ números

\[ \left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2},\frac{a_{2}+a_{3}}{2},\ldots,\frac{a_{n-1}+a_{n}}{2}\right) \]

Definimos también $A^1(S)=A(S)$ y para cada entero $m$, mayor que 1 y menor que $n$, $A^{m}(S)=A(A^{m-1}(S))$. Supongamos que $S=(1,x,x^{2},...,x^{2011})$ y que $A^{2011}(S)=(556^{2011})$. Encuentra $x$.

Problema 6.Sea $ A_{k}=\frac{k(k-1)}{2}\cos\frac{k(k-1)\pi}{2}, $.Calcula $ A_{19}+A_{20}+...+A_{98}$

Problema 7. ¿Para cuántas parejas de enteros positivos $(x,y)$ es cierto que $y$ es mayor que $x$ y menor que $10^{6}$ y que

\[ \frac{x+y}{2}= \sqrt{xy}+2 \]?

Problema 8. Sea $f$ una función real definida en los enteros que cumple

\[ f(n)-(n+1)f(2-n)=(n+3)^{2} \]

Determina $f(0)$.

Problema 9. Determina el menor entero positivo $n$ tal que cualquier conjunto de enteros positivos primos relativos por parejas, mayores que 1 y menores que 2005, contiene al menos un número primo.

Problema 10. Dos circunferencias con centros $A$ y $B$ tienen radios 3 y 8, respectivamente y no se intersectan. Una tangente interior común toca a las circunferencias en $C$ y $D$, respectivamente. $AB$ y $CD$ se cortan en $E$ y $AE=5$. ¿Cuánto mide $CD$?

Problema 11. ¿Para cuántos enteros positivos $k$ se tiene que $12^{12}$ es el mínimo común múltiplo de $6^{6}$, $8^{8}$ y $k$?

Problema 12. Un círculo está inscrito en el cuadrilátero $ABCD$ y es tangete a $AB$ en $P$ y a $CD$ en $Q$. Si $AP=19$, $PB=26$, $CQ=37$ y $QD=23$, ¿cuánto vale el cuadrado del radio del círculo?

Problema 13. Si escribimos los número del 1 al 999, uno tras otro para formar el número 1234567891011...998999, ¿cuántas veces aparece el “21” en este número?

Problema 14. Consideremos los polinomios $ P(x)=x^{6}-x^{5}-x^{3}-x^{2}-x $ y $Q(x)=x^{4}-x^{3}-x^{2}-1$ . Sean $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ y $z_{4}$ las raíces de $Q(x)$, encuentra $ P(z_{1})+P(z_{2})+P(z_{3})+P(z_{4}) $.

Problema 15. Sea $n$ la cantidad de cuartetas ordenadas $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ de enteros positivos impares tales que su suma es 98. Encuentra $\frac{n}{100}$.

63 comentarios:

Manuel Alejandro dijo...

Problema 1: 13

Flavio dijo...

prob 1 - 13

Diego627 dijo...

prob 1 13

IrvinG dijo...

Ya corregí los que no aparecían bien!

Flavio dijo...

prob 8 .- (-17)

Enrique dijo...

P8. -17

FerchoAñorvus dijo...

11. 24

Manuel Alejandro dijo...

Problema 7: 997 parejas

Diego627 dijo...

Prob 5 - 1111

DANIELIMO dijo...

p 10
46/3

José.Ra dijo...

problema 11:
25

FerchoAñorvus dijo...

13. 31

Jorge 'Chuck' dijo...

Problema 5. x= 556*2^2011

Enrique dijo...

p11. 25

Manuel Alejandro dijo...

Problema 13: 30

Flavio dijo...

prob 7.- 998

Jorge 'Chuck' dijo...

digo, problema 5. 556*2 = 1112

angel95 dijo...

probma p = 8

angel95 dijo...

problema 4 p=8

Manuel Alejandro dijo...

Problema 15: (50 en 3)/100 = 196

Adán dijo...

problema 10. $\frac{44}{3}$

FerchoAñorvus dijo...

6. -17

DANIELIMO dijo...

p12
216

Enrique dijo...

p10. 44/3

Diego627 dijo...

prob 9. 25

Diego627 dijo...

Digo, problema 11 es 25

FerchoAñorvus dijo...

10. 44/3

Diego627 dijo...

problema 15 es "50 en 3"

Enrique dijo...

p3. 90°

KapadeSa =) dijo...

13.31

Jorge 'Chuck' dijo...

p2. 1

Diego627 dijo...

prob 3:90 grados, osea pi/2 rad

DANIELIMO dijo...

p 15
196

Flavio dijo...

prob 5= 1111

Diego627 dijo...

p 14- 6

Georges dijo...

4.- p=54

DANIELIMO dijo...

p9
16

Georges dijo...

4.- P=130

IrvinG dijo...

10 min!

Diego627 dijo...

PROBLEMA 9: 14

Diego627 dijo...

prob 6:40

IrvinG dijo...

Dos minutos!

DANIELIMO dijo...

p6
-40

Diego627 dijo...

espera, la suma con valor absoluto es 40 , pero ya no esta ese valor, asi que seria -40

Georges dijo...

12.- 647

IrvinG dijo...

Uno!

Jorge 'Chuck' dijo...

problema 9. 13

Diego627 dijo...

estaba seguro que la suma del 6 tena valor absoluto, almenos al principio del examen ...

IrvinG dijo...

___FIN___

IrvinG dijo...

Si, hubo ahí un problema. Pero si pusiste valor absoluto si va a contar como buena

IrvinG dijo...

¿Cómo vieron este examen?

DANIELIMO dijo...

cuales eran las respuestas?

Manuel Alejandro dijo...

Lo sentí un poco menos difícil que los otros

Georges dijo...

MMMM... la verdad yo siento que estos examenes estan bien como para prepararnos para el AMC, AIME, etc, etc... pero no se que tanto para la IMO!

DANIELIMO dijo...

soy un pendejo, me retirare de la olimpiada

IrvinG dijo...

P1. 13
P2. 1
P3. 90
P4. 130
P5. 1111
P6. -40
P7. 997
P8. -17
P9. 15
P10. 44/3
P11. 25
P 12. 647
P 13. 31
P14. 6
P15. 196

DANIELIMO dijo...

ni si quiera creo q sirvan mucho, para el AMC y AIME, pero estan divertidos

IrvinG dijo...

Pues la idea de estos exámenes si es prepararse para ese tipo de exámenes como AMC, AIME, etc... porque son buenos para ganar velocidad, algo que ayuda mucho en la IMO. Pero aparte se va a seguir trabajando problemas como el año pasado, más tipo IMO.

Diego627 dijo...

nos ayudaran mas a pasar a la USAMO que a la IMO xD

María dijo...

En el primer mail dijeron que era a las 10.

IrvinG dijo...

Si, pero al final del examen pasado acordaron que a las 10 era muy tarde y lo movieron para las 9. Yo puse un recordatorio hace rato en el blog y David les mandó un correo, creo

Manuel Alejandro dijo...

Los puntajes cuando los subirás? o David lo hará?

IwakuraIsa dijo...

Un verdadero olimpico de nivel IMO no cometería esos errores en este tipo de problemas.
Además hacer los problemas fáciles rápido, te da mas tiempo para los problemas dificiles en la IMO, por lo que en mi opinion si son bastante utiles estos exámenes.
Y a parte el nivel de un medallista de oro de la USAMO es mucho mayor que el de un medallista de oro de la OMM.

Publicar un comentario