lunes, 17 de enero de 2011

Problema del Día: Martes 18 de Enero de 2011 (GEO)

En el triángulo $ABC$, $CH$ es una altura, y las cevianas $CM$ y $CN$ son las bisectrices de los ángulos $\angle ACH$ y $\angle BCH$, respectivamente. El circuncentro de $CMN$ coincide con el incentro de $ABC$. Pruebe que $(ABC) = \frac{AN\cdot BM}{2}$.

6 comentarios:

Georges dijo...

Llamemos I al incentro de ABC, X,Y,Z a los puntos de intersección del incirculo de ABC con BC,CA,AB resp.

Tenemos la siguiente igualdad de angulos 2ACI=BCA=2MCN=MIN=2ZIN (Facil de ver que es cierto)

Por lo tanto ZIN es congruente a YCI (YCI=ZIN, tienen uno de 90 los dos, y NI=IC por ser I circuncentro) Con esto obtenemos que ZN=YI que tambien es igual a ZI por ser inradios.

Por lo tanto ZIN es un triangulo rectangulo isoceles y por lo tanto ZIN=45, entonces BCA=2ZIN=90.

Ya con esto es facil ver que ANC=ACN y BMC=BCM es decir AN=AC y BM=BC, por lo que (AN)(BM)/2=(AB)(AC)/2=(ABC) por que ACB es recto.
FIN

DANIELIMO dijo...

creo que ya lo hice

Jorge 'Chuck' dijo...

Sea O el circuncentro de CMN, y sea D,E y F la proyección de O en BC, CA y AB Respectivamente.

Como O es incentro de ABC, <OCD=45° y ABC es recto en C.

Ahora, por la congruencia anterior, BM= BF+FM = BF + DC pero como O es el incentro de ABC, y tanto D como F son puntos de tangencia, BF=BD por lo que BM=BD + CD = BC.

análogamente, AN=AC.

Como ABC es recto en C, (ABC)=AC*BC/2 = AN*BM/2
FIN

Jorge 'Chuck' dijo...

Esta cosa omitió parte de mi demostración!!!

después del primer enunciado debería ir:

<OCD=<OCE y son la mitad de <ACB al igual que <MCN por lo que <OCD=<MCN y como éste es un ángulo inscrito y <MON es central y abren el arco MN que no contiene a C, <MON=<ACB y entonces, como OM=ON por ser radios, MON es isosceles y <OMF=90-<OCD

Ahora, OF = OD porque sonradios del incírculo dee ABC, y OC = OM ya que son radios del circuncírculo de CMN, y ambos son rectos, así que al calcular por el Teorema de Pitágoras el otro lado vemos que son congruentes: MFO=DCO

y<OMF=90-<OCD=<OCD y entonces <OCD=45°
(lo demás si está)

angel95 dijo...

Sea O el circuncentro de MCN y Q,R, S los puntos de tangencia del incirculo ABC con CA, AB y BC respectivamente. a= angulo ACM y b= angulo NCB. Entonces angulo MCN= a+b= 1/2 de 2(a+b)= 1/2 de angulo ACB=angulo QCO. Pero ya que O esta en la mediatriz de MN entonces R es el punto medio MN , por lo que angulo MCN= 1/2 del angulo MON= angulo RON. Ya que los triangulos QCO y RON tienen dos angulos iguales (NRO=90=OQC y RON=MCN=QCO) entonces son semejantes, pero ya que O es incentro de ABC, entonces CO=ON, y los triangulos son congruentes, por lo que RN=QC=OR, entonces angulo RON=a+b=45. Entonces triangulo ABC es recto en C, ademas que angulo CMB=90-a=2b+a= angulo MCB, entonces MB=CB, y analogamente AN=AC, entonces (AN)(MB)/2=(AC)(CB)/2= (ABC).

Eduardo dijo...

Están padres sus soluciones, básicamente es la misma idea de obtener semejanzas en los puntos de tangencia. Luego les platico la mía, con la ayuda de unos cíclicos que salen x ahí..

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