viernes, 21 de enero de 2011

Problema del Dia (viernes 21 de enero - NUM)

Demuestra que para todo entero positivo $n$, el número $10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1$ no es primo.

10 comentarios:

Diego627 dijo...

Sea $A=10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1$
Sea $n=2^k I$ donde $I$ es impar. Sea $m=10^{2^k}+1$.Tenemos que $10^n\equiv 10^{2^k I} \equiv {10^{2^k}}^I\equiv (-1)^I\equiv -1$ $mod$ $m$.
$2^(k+1)|10^(k+1)|10^{2^k}|10^{2^k I}$ entonces $10^n=2^{k+1} r$
$10^{10^n}\equiv {10^{2^k}}^{2r} \equiv (-1)^{2r}\equiv 1$ $mod$ $m$.
$2^{k+1}|10^{k+1}|10^{10^{2^k}}|10^{10^n}$. $10^{10^n}=2^{k+1} u$ entonces
$10^{10^{10^n}}\equiv {10^{2^k}}^{2u} \equiv (-1)^{2u}\equiv 1$ $mod$ $m$.
Porlotanto $10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1\equiv 1+1-1-1\equiv 0$ $mod$ $m$.
Tenemos que $m|A$, $m\geq 2$, $m<A$ porlotanto $A$ no es primo

Quique12 dijo...

Bien hecho Diego. Mi solución es la misma.

Jorge 'Chuck' dijo...

sea n = 2^k*r con r impar demostremos que 10^(2^k) + 1 = d divide a 10^(10^(10^(2^k*r))) + 10^(10^(2^k*r)) + 10^(2^k*r) - 1 = S

10^(2^k*r) = (d-1)^r = (-1)^r(mod d)
y como r es impar (-1)^r=-1(mod d)

10^(10^(2^k*r))=10^(2^(2^k*r)*5^(2^k*r)) = 10^(2^k*2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r))
como
2^k*r>k, 2^(2^k*r - k)>=2 y es entero de modo que
10^(2^k*2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r))= (10^(2^k))^(2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r)) = (-1)^(2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r)) (mod d)
y como (2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r)) es par
(porque 2^(2^k*r - k)>=2 y es entero)
(-1)^(2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r)) = 1 (mod d)

De manera similar
10^(10^(10^(2^k*r))) = 10^(2^(10^(2^k*r))*5^(10^(2^k*r))) = 10^(2^k*2^(10^(2^k*r) - k)*5^(10^(2^k*r)))
y como
10^(2^k*r) > k entonces 2^(10^(2^k*r) - k >=2 y es entero por lo que
10^(2^k*2^(10^(2^k*r) - k)*5^(10^(2^k*r))) = (10^(2^k))^(2^(10^(2^k*r) - k)*5^(10^(2^k*r))) = (-1)^(2^(10^(2^k*r) - k)*5^(10^(2^k*r))) (mod d)
y como 2^(10^(2^k*r) - k) >=2 y es entero, es par, por lo que
(-1)^(2^(10^(2^k*r) - k)*5^(10^(2^k*r))) = 1 (mod d)

Si juntamos todo lo de arriba podemos ver que
S=(1)+(1)+(-1)-1 = 0 (mod d)
de modo que d|S y como d<S sabemos que todos los primos que dividen a d, también dividen a S por lo que S no puede ser primo.

Quique12 dijo...

Muy bien Jorge 'Chuck'

Georges dijo...

Ya me salio pero tengo la misma solucion que Diego, considerar el numero 10^(2^k)+1 donde 2^k es la maxima potencia de 2 que divide a n, y hacer las cuentas para ver que cumple.

Flavio dijo...

Supongamos que $2^a$ || n, entonces sea
$k = 10^{2^a}+1$ entonces
$10^{2^a}\equiv -1 \pmod{k}$, luego $2^a \leq n$,
$10^{2^a} | 10^n$ y a $2^{a+1}|10^n$, luego los terminos de la derecha, son potencias pares de $10^k$ entonces son 1 modulo k, luego la suma queda 0 modulo k y k es divisor de ese numero y entonces no es primo.

DANIELIMO dijo...

sea n=(2^k)i con i impar y sea x=10^(2^k),
sabemos que k<n, por lo tanto
(2^k)a=10^(10^n) y (2^k)b=10^n, con a, b enteros pares, por lo tanto
10^(10^(10^n))=x^a=1 (mod x+1) y
10^(10^n)=x^b=1 (mod x+1)
y sabemos que x=-1 (mod x+1)
por lo tanto al sumar las 4 potencias nos queda que son divisibles entre x+1 y claramente es un numero mayor, por lo tanto no es primo.

DANIELIMO dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
DANIELIMO dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
angel95 dijo...

Para n impar se tiene que
los primeros dos sumandos son congruentes a 1 modulo1, y el tercer sumando es congruente a -1 modulo 11, entonces la suma es congruente a 1+1-1-1=0 Modulo11,
entonces supongamos que n es par, sea n=(2^t)I, con I impar, y sea m=(10^2^k) + 1
entonces
10^n==10^((2^t)I)==10^(2^t)^I==(-1)^I==-1Mod m
ademas ya que 10 ^(2^t)/ 10^n, se llegua a que 2^(t+1)/10^n/10^10^n.
usando congruencias se llaga a que
R=(10^10^10^n)+(10^10^n)+(10^n)-1==1+1-1-1==0Mod m, por lo que R no es primo.

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