miércoles, 25 de mayo de 2011

Problema del 25 de Mayo (Diego)

Sean $a,b,c\in\mathbb{R}^+$, tal que $a+b+c=1$. Demuestren que:
$$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+b}}\leq\frac{3}{2}$$

7 comentarios:

Manuel Alejandro dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
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Diego627 dijo...

Publicare una segunda solución. Homogenizamos y notamos que $ab+c=(c+a)(c+b)$. Por Cauchy $\sqrt{(c+a)(c+b)}\geq c+\sqrt{ab}$. Entonces
$$\sqrt{\frac{ab}{(b+c)(a+c)}}+\sqrt{\frac{ac}{(b+c)(a+b)}}+\sqrt{\frac{bc}{(a+c)(a+b)}}\leq$$
$$\frac{\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ac}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}}$$
Deshomogenizamos con $abc=1$. Definimos $x=ln(a),y=ln(b),z=ln(c)$ entonces $a=e^x,b=e^y,c=e^z$. $1=abc=e^{x+y+z}$, entonces $x+y+z=0$. Tenemos que
$$\frac{\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ac}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}}=$$
$$\frac{1}{c\sqrt{c}+1}+\frac{1}{b\sqrt{b}+1}+\frac{1}{a\sqrt{a}+1}=$$
$$f(x)+f(y)+f(z)\leq 3f(\frac{x+y+z}{3})=3f(0)=\frac{3}{2}$$
Usando $f(r)=\frac{1}{e^{\frac{3r}{2}}+1}$, tenemos que su segunda derivada es no-positiva, entonces por Jensen se cumple la ultima desigualdad. Y notemos que $f(0)=\frac{1}{2}$

jorge garza vargas dijo...

@Manuel: creo que la desigualdad de Nesbitt va al revés, es decir la suma cíclica de a/(b+c) es mayor o igual a 3/2 y no menor igual como tú la usaste.

jorge garza vargas dijo...

Llamemos $M$ al lado izquierdo, veamos que $ab+c=(b+c)(a+c)$, entonces $M$ es igual a la suma cíclica que puso Diego en el cuarto renglón. Luego por $MA-MG$ tenemos que $\sqrt{\frac{a}{(a+c)}}\sqrt{\frac{b}{(b+c)}}\leq$$\frac{1}{2}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c})$, así que $M\leq$$\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}=$$\frac{3}{2}$

Manuel Alejandro dijo...

Cierto, mi subconsciente decía que tenía algo mal, pero mi consciente no encontró error... esta super sencilla tu solución Jorge, y pues no encuentro otra, hice una similar sustituyendo de otra manera, pero es prácticamente lo mismo.

DANIELIMO dijo...

Me salio igual que a jorge

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