martes, 31 de mayo de 2011

Problema del martes (Flavio)

Un número se llama amable si se puede escribir como $m + (m + 1) + ... + (n - 1) + n$ para enteros positivos con $m$ menor a $n$. Por ejemplo: 18 es amable, ya que 18 = 5 + 6 + 7. Un número se llama potencia de dos si se puede escribir como $2^l$ para algún entero $l\ge0$.
(a) Demostrar que ningún número es a la vez amable y una potencia de dos.
(b) Demostrar que todo entero positivo es amable o una potencia de dos.

5 comentarios:

jorge garza vargas dijo...

Usando la suma de Gauss es claro que si $A$ número amable entonces se puede escribir como $\frac{(n)(n+1)}{2}-\frac{(m-1)(m)}{2}$$=\frac{(n-m+1)(n+m)}{2}$, así que si $A$ es también una potencia de dos, tenemos que tanto $n-m+1$ como $n+m$ debe de ser potencia de dos, lo cual es imposible ya que tienen distinta paridad y $n-m+1>1$.
Ahora veamos que si un número $s$ no es potencia de dos entonces es amable. Como $s$ no es potencia de dos podemos escribirlo como $s=2^{d}k$ donde $k$es un impar $>1$, es claro que si $k>2^{d+1}$ entonces existen $n$ y $m$ tales que $n-m+1=2^{d+1}$ y $n+m=k$ por lo que $s=\frac{(n-m+1)(n+m)}{2}$ por lo que $s$ será amable, análogamente si $2{d+1}>k$ entonces podemos encontrar $n$ y $m$ tal que $2^{d+1}=n+m$ y $k=n-m+1$, con lo que se concluye el punto b).

jorge garza vargas dijo...

En el tercer renglón de abajo para arriba quise poner $2^{d+1}>k$

DANIELIMO dijo...

Ya habia hecho el problema

Georges dijo...

Tengo la misma que la de Jorge... estaba facilin...

Diego627 dijo...

Tengo la misma solución que Jorge, también.

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