martes, 31 de mayo de 2011

Problema del Lunes 30 de Mayo (Georges)

Aqui esta un día atrasado.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $x,y$ tales que $x+y+1$ divide a $2xy$ y $x+y-1$ divide a $x^2+y^2-1$

4 comentarios:

jorge garza vargas dijo...

La idea es ver que $(x+y+1)(x+y-1)$$=(x+y)^2-1|$$(x+y)^2-1=$$(x^2+y^2-1)+(2xy)$ en especial $x+y+1|$$(x^2+y^2-1)+(2xy)$ y como $x+y+1|$$2xy$ entonces $x+y+1|$$x^2+y^2-1$, ahora, como $(x+y+1,x+y-1)$ es o $1$ o$2$ entonces tenemos que $\frac{1}{2}(x+y+1)(x+y-1)|$$x^2+y^2-1$, por lo que si $\frac{1}{2}(x+y+1)(x+y-1)$$=\frac{1}{2}(x+y)^2-1$ es un divisor propio de $x^2+y^2-1$ se tiene que $2(\frac{1}{2}(x+y)^2-1)$$=(x+y)^2-1\leq x^2+y^2-1$ lo cual es imposible, por lo tanto $(x+y)^2-1=2(x^2+y^2-1)$, de donde claramente las soluciones son de la forma $(x,y=x+1)$ y su simétrica.

DANIELIMO dijo...

Mi solución es basicamente igual a la de Jorge

Diego627 dijo...

Mi solución es la misma que la de Jorge.

Manuel Alejandro dijo...

$x+y+1|(x+y+1)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy+2x+2y+1$ $\Rightarrow x+y+1|x^{2}+y^{2}-1$

$x+y-1|(x+y-1)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy-2x-2y+1$ $\Rightarrow x+y-1|2xy$

$M=(x+y+1,x+y-1)=1,2$

Si $M=1 \Rightarrow(x+y+1)(x+y-1)|2xyM=2xy$ $\Rightarrow(x+y+1)(x+y-1)\leq2xy$, entonces $(x+y+1)(x+y-1)=x^{2}+2xy+y^{2}-1\leq2xy$ $\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq1$, pero tanto $x^{2},y^{2}$ son enteros positivos, por lo cual su suma es mayor o igual a dos, contradicción.

Si $M=2 \Rightarrow(x+y+1)(x+y-1)|2xyM=4xy$ $\Rightarrow(x+y+1)(x+y-1)\leq4xy\Rightarrow x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\leq1$, entonces $|x-y|=0,1$. Si $x=y\Rightarrow2x+1|2x^{2}$,pero $2x+1$ es primo relativo con $x^{2}$, entonces $2x+1|2$, lo cual es una contradicción. Si x=y-1 entonces: $2x|x^{2}+(x+1)^{2}-1=2x^{2}+2x$ y $2x+2|2x(x+1)$, y ambas se cumplen, entonces funciona para todo par de números enteros x, y consecutivos.

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