jueves, 19 de mayo de 2011
PROBLEMA DEL DIA: 19 DE MAYO (Manuel)
Sea ABCD un cuadrilátero. Sea X un punto dentro de dicho cuadrilátero. $AX^{2}+BX^{2}+CX^{2}+DX^{2}$ es el doble del área del cuadrilátero. Determina para que cuadriláteros y qué puntos dentro de ellos se cumple la condición.
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2 comentarios:
Por reacomodo $AX^{2}+BX^{2}+CX^{2}+DX^{2}\geq (AX)(BX)+(BX)(CX)+(CX)(DX)+(DX)(AX)$
Y como el seno de cualquier número es menor i igual a uno entoces eso es mayor o igual a $(AX)(BX)senAXB+(BX)(CX)senBXC+(CX)(DX)senCXD+(DX)(AX)senDXA=2(ABCD)$
La primera igualdad se da si todos los segmentos son iguales y la segunda si todos los angulos son 90, es decir si $X$ es el punto de intersección de las diagonales y estas son perpendiculares. Por lo tanto de aqui es facil ver que la igualdad se da cuando $ABCD$ es un cuadrado y $X$ su centro.
Me salio igual que Georges
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