lunes, 16 de mayo de 2011

Problema del día 16 de Mayo (Centros)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $AD$ la altura desde $A$. Sea $E$ un punto en el segmento $AD$ de tal manera que $\angle BEC=90^{\circ}$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de $BAE$ y $CAE$, respectivamente. Si $F$ es el punto medio de $BC$ y $G$ es el punto medio de $O_1O_2$, demuestra que $E$, $F$ y $G$ son colineales.

5 comentarios:

Adán dijo...

Primero vemos que como $O_1$ y $O_2$ están sobre la mediatriz de $AE$ tenemos que $O_1O_2$ es perpendicular a $AD$, pero también $BC$ es perpendicular a $AD$, por lo que $O_1O_2$ y $BC$ son paralelas.

Sean $M_1, M_2$ los puntos medios de $BE, CE$ respectivamente. Entonces, como el triángulo $BEC$ es recto en $\angle BEC$ tenemos que $BC$ es su hipotenusa, y como $F$ es su punto medio, tenemos que $F$ es circuncentro de $BEC$. Entonces vemos que $F, M_1, O_1$ y $F, M_2, O_2$ son colineales.

Además por ser circuncentros, $FO_1$ es paralela a $CE$ y $FO_2$ es paralela a $BE$. Entonces $BEC$ y $FO_1O_2$ son homotéticos, y además su centro de homotecia está sobre $FE$, como $F$ y $E$ son puntos correspondientes de la homotecia, y la unión de puntos correspondientes concurre en el centro de homotecia.

Entonces el punto medio de $O_1O_2$ y el punto medio de $BC$ (Osease $F$ y $G$) son correspondientes en la homotecia.

Llamemos al centro de homotecia $H$. Sabemos pues que $E, H, F$ son colineales por la homotecia. Y también $F, H, G$ son colineales por la homotecia (punto medios). Por lo que concluimos que $E, F, G$ son colineales como queríamos.

Juan dijo...

Vemos que $FO_1 \perp BE \perp CE$ y $FC \perp AE \perp O_1O_2$, por lo que $\angle O_2O_1F = \angle BCE$. Pero $\triangle O_1O_2F$ es rectángulo y $G$ el punto medio de la hipotenusa por lo que
$\angle BCE = \angle O_2O_1F = \angle O_1FG$. Pero $\angle O_1FE = \angle BCE$ también por ángulo inscrito - ángulo central (en el circuncírculo de $\triangle BCE$), y acabamos

IrvinG dijo...

Juan, por qué pones tantos comentarios y luego los borras?

Juan dijo...

Perdón, es que salían mal algunos.

Enrique dijo...

Tomamos los circuncírculos $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$ y $\Gamma_{3}$ de los triángulos $BAE$, $CAE$ y $BCE$, con centros en $O_{1}$, $O_{2}$ y $F$. Entonces, es claro que $O_{1}F\perp BE$ y $O_{2}F\perp CE$, y como $BE\perp CE$, $O_{1}F\parallel CE$ y $O_{2}F\parallel BE$. También tenemos que $O_{1}O_{2}\perp AE$ y $AE\perp BC$, por lo que $O_{1}O_{2}\parallel BC$, luego los triángulos $O_{1}O_{2}F$ y $CEB$ son homotéticos y por la homotecia $EF\parallel FG$ (por ser medianas desde vértices correspondientes), luego $E$, $F$ y $G$ son colineales. $\blacksquare$

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