México rumbo a la IMO: Problema 1 de Algebra

sábado, 22 de agosto de 2015

Problema 1 de Algebra

Calcula la suma
$$\sum_{k=0}^{n} (-1) ^k k^n \binom{n}{k}.$$

3 comentarios:

Unknown dijo...: La respuesta va a ser n!, con signo positivo si n es par y con signo negativo si n es impar, si tenemos n cajas y queremos pintarlas con n colores de manera que cada color se uso una vez, claramente es n!, por otro lado, usano inclusion exclusion, si contamos primero que los colores se puedan repetir eso es n en n por $n^n$, ahora quitenos todos los casos cuando usamos n-1 colores, esto es n en n-1 por $(n-1)^n$, aqui ya quitamos siempre que repetimos colores, pero restanos dos veces cuando a lo mas uso (n-2) colores, entonces le sumamos eso, al sumarle eso vamos a sumar de mas dos veces cuando a lo mas tenemos (n-3) colored, entonces asi nos la llevamos con inclusion exclusion, y cada termino de esto seran exactamente los terminos que tenemos en nuestra sumatoria, si n era impar entonces debo multiplicar todo por -1 para que me quede como en la sumatoria, entonces la respuesta es n!; 24 de agosto de 2015, 8:46 p.m.
Ariel dijo...: Misma solución que Toño (conté bolitas en vez de cajas, pero es lo mismo). $n!$ formas de pintar $n$ cosas de $n$ colores distintos, y luego para el lado izquierdo cuentas lo mismo pero con Inclusión - Exclusión.; 26 de agosto de 2015, 10:45 a.m.
Unknown dijo...: También inclusion=exclusion, pero yo asigné problemas de la tarea de n problemas a un grupo de niños que son muy inteligentes y no quieren trabajar de más.; 7 de septiembre de 2015, 7:57 a.m.

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