miércoles, 19 de agosto de 2015

Problema del día 19 de agosto.

Sean $a_1 < a_2 < \dots < a_{2014}$ enteros positivos. Demuestra que

$$\sum_{i=1}^{2013} \frac{1}{MCM[{a_i,a_{i+1}}]} < \frac{1}{a_1},$$


donde $MCM[a,b]$ denota el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$.

3 comentarios:

Antonio Lopez Guzman dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Antonio Lopez Guzman dijo...

este lo hago por induccion, el caso base sera n=2 el cual esta obvio de ver que cumple, y si suponemos que cumple ahora para n, cuando lo tengamos para n+1 pasamos el $\frac{1}{[a_1,a_2]}$ del otro lado y nos quedara ahora la suma del lado izquierdo ver que sea menor que $\fracc{1}{a_1}-\frac{1}{[a_1,a_2]}$, sea $b(a_1)=[a_1,a_2]$ el minimo comun multiplo, entonces $\frac{1}{a_1}-\frac{1}{[a_1,a_2]}=\frac{b-1}{b(a_1)}$, por hipiotesis de induccion se que lo del lado izquierdo es menor que $\frac{1}{a_2}$, entonces el problema se reduce a ver que $\frac{1}{a_2}$ es menor o igual que $\frac{b-1}{b(a_1)}$, lo cual desarrolando nos queda ver que $a_2\leq b(a_2-a_1)$, consideremos a $c$ el maximo comun divisor de $a_1$ y $a_2$, ahora vere que $c(a_2)\leq bc(a_2-a_1)$, como c divide a a_1 y a_2 entonces divide a la diferencia la cual claramente no es cero entronces $c\leq a_2-a_1$, luego veo que a_2=bc, ya que el maximo comun divisor por el minimo comun multiplo da el producto de ambos, osea $(a_1)(a_2)=a_1bc$, juntando estas dos cosas se obtiene que la desigualdad si es cierta, entonces ya completamos nuestra induccion n, donde n es el numero de a's.

Ariel dijo...

Probamos por inducción sobre $n \geq 2$ que si $b_1, b_2, \dots, b_n$ es una secuencia estrictamente creciente de naturales entonces $\sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{1}{[b_i, b_{i + 1}]} < \frac{1}{b_1}$. El caso $n = 2$ es claro pues $[b_1, b_2] > b_1$ ya que $b_2 > b_1$.

Ahora suponiendo que la hipótesis para $n$ es cierta, buscamos probar que $\sum_{i = 1}^n \frac{1}{[b_i, b_{i + 1}]} = \frac{1}{[b_1, b_2]} + \sum_{i = 2}^n \frac{1}{b_i, b_{i + 1}} < \frac{1}{b_1}$. Por otro lado, aplicando la hipótesis inductiva para la secuencia $b_2, b_3, b_4, \dots, b_n$, la desigualdad deseada es equivalente a $\frac{1}{[b_1, b_2]} \leq \frac{1}{b_1} - \frac{1}{b_2}$, o $(b_1, b_2) = \frac{b_1b_2}{[b_1, b_2]} \leq b_2 - b_1$. Esto último es claro pues $(b_1, b_2) \mid b_2 - b_1$ y $b_2 - b_1 > 0$.

Finalmente basta aplicar lo recién demostrado a la secuencia $a_1, a_2, \dots, a_{2014}$.

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