lunes, 24 de agosto de 2015

Problema del día 24 de agosto

Leo y Niño juegan un juego por turnos. En una mesa se ponen $2014$ cartas en fila (en cualquier orden) con los números del 1 al $2014$ escritos en ellas (los números son visibles y no hay dos cartas con el mismo número). El jugador en turno decide si escoger la carta del extremo derecho o la carta del extremo izquierdo y removerla de la mesa. Cuando ya no hay más cartas en la mesa cada jugador suma los números de las cartas que agarró, el que sume más puntos gana. Demuestra que el jugador que comience puede garantizar la victoria.

4 comentarios:

Ariel dijo...

Digamos que las cartas en la fila son alternadamente rojas y azules. Veamos que el primer jugador puede garantizar tomar todas las azules o todas las rojas. Esto lo ves inductivamente; inicialmente las cartas tienen colores alternados, y si tomas la del color que quieres, obligas a que el otro te regrese a esa misma posición.

Ahora, el primer jugador elige tomar la colección de cartas del mismo color con mayor suma. Ya que $1 + 2 + \dots + 2014 = \frac{2014 \cdot 2015}{2}$ es impar, no puede haber empates, y por lo tanto el primer jugador gana,

Jorge Pat De la Torre dijo...

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Antonio Lopez Guzman dijo...

la misma solucion de ariel, coloreas alternadamente y obligas al siguiente jugador a tomar siempre un color, solo eliges el color de mayor suma

Jorge Garza Vargas dijo...

Muy bien. Este problema apareció en un selectivo mexicano para la IMO del 2009.

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